Dimension vom Spann

21.08.2011, 15:23	Mathenull2506	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension vom Spann Hallo! Wir haben die Vektoren a=(1,3,0) b=(1,3,1) und c=(0,0,1) gegeben. Was wir wissen: a und b sind linear unabhängig und c ist linear abhängig von a und b. Die Dimension des Spanns: dim span <a,b,c> =2 , soweit richtig oder? Des Weiteren wurde besprochen, dass span<a,b,c>=span<a,b> ist. Wieso darf man das so schreiben? Weil eigentlich nur der Vektor a und b den Spann bilden? Außerdem wurde bei der Klausurbesprechung nochmal auf alle Fehler eingegangen, die gemacht wurden, wobei geschrieben steht: span <a,b,c> ungleich dem R² ... wieso ist das so, wenn der Spann doch die Dimension 2 hat??? Danke für die Hilfe!
21.08.2011, 15:53	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimension des Spans stimmt schonmal. $\begin{eqnarray} span<a,b,c> = span<a,b> \end{eqnarray}$ kann man so sehen: Sei $\begin{eqnarray} x \in span<a,b,c> \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x = \alpha a + \beta b + \gamma c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Wir wissen: $\begin{eqnarray} c = k a + l b , \ k,l \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} x = \alpha a + \beta b + \gamma c = \alpha a + \beta b + (k a + l b) = (\alpha + k) a + (\beta + l) b \in span <a,b> \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} span <a,b,c> \subset span <a,b> \end{eqnarray}$ . Die Umkehrung ist trivial,also: $\begin{eqnarray} span <a,b,c> = span <a,b> \end{eqnarray}$ Deine letzte Frage entspringt einem grundsätzlichen Denkfehler. Du bewegst dich im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Hier vom $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ zu sprechen macht grundsätzlich schonmal keinen Sinn (da ihm die z-Koordinate fehlt). Das führt zur ersten Feststellung, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \neq span < \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ . Ich möchte dich auch nicht zu weit verwirren, daher spare ich mir erst einmal weitere Ausschweifungen.

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