sym. positiv definite Matrix

21.08.2011, 15:26	Therry	Auf diesen Beitrag antworten »
sym. positiv definite Matrix Meine Frage: Hallo zusammen, Wir haben da so einen satz im Skript dass jede Sym pos definite MAtrix positive Diagonalelemente hat. Bezieht sich das auf die Matrix direkt oder erst auf die die Matrix wenn sie mittels Gauß auf Zeilenstufenform gebracht wurde? Wenn das zweite zutrifft wäre mir eigentlich auch klar, warum jede sym pos definite Matrix invertierbar ist. WEnn das erste zutrifft versteh ich nciht wie man dann auf die Invertierbarkeit schließen kann? Kann mir jemand helfen? Danke! Meine Ideen:
21.08.2011, 16:08	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sym. positiv definite Matrix Symmetrische positiv definite Matrizen kann man Diagonalisieren, wobei die Diagonalelemente dann alle positiv sind. Die andere Frage: Ohne Diagonalisierung haben positiv definite Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ schon positive Diagonalelemente, denn es gilt: $\begin{eqnarray} a_{ii} = \langle e_i, A e_i \rangle > 0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ positiv definit.
21.08.2011, 16:18	Therry	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sym. positiv definite Matrix Also heißt das wenn ich eine Matrix habe welche überall beliebige Zahlen hat und auf der Diagonalen nur positive Zahlen dann ist sie automatisch positiv definit?- Aber wenn das so einfach ist warum wird die Positivdefinitheit dann mit den Hauptminoren untersucht und nicht einfac die MAtrix schaft angeschaut? Und mit der Diagonalmatrix meinst du damit das Choleskiverfahren?
21.08.2011, 17:10	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sym. positiv definite Matrix Also, ich formuliere mal die Aussage von mir etwas formaler, denn das ist nur notwendig, nicht hinreichend. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ positiv definit $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ alle Diagonaleinträge positiv Die Umkehrung gilt nicht! Man kann einfach Gegenbeispiele finden. Zu meiner zweiten Behauptung: Symmetrische positiv definite Matrizen kann man Diagonalisieren, wobei die Diagonalelemente dann alle positiv sind. Beweis: die Matrix ist symmetrisch und nach dem Hauptachsentheorem kann ich es diagonalisieren. Auf der Diagonalen stehen natürlich die Eigenwerte. Da die Matrix zudem positiv definit ist, sind alle Eigenwerte positiv. Damit folgt, dass die Diagonalelemente positiv sind.

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