Normalform einer Quadrik bestimmen Aufgabe

21.08.2011, 16:53

steviehawk

Normalform einer Quadrik bestimmen Aufgabe

Meine Frage:
Ich zerbreche mir an folgender Aufgabe den Kopf, ich hoffe es nimmt sich einer die Zeit um mir zu helfen!

Also ich muss die Normalform dieser Quadrik bestimmen:

$\begin{eqnarray*} M(x_1,x_2,x_3)^T = 4x_1^2+2x_2^2+4x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_2x_3+6x_1+4x_2+2x_3+8 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe auch schon die Matrix A und b und c bestimmt für die Darstellung:

$\begin{eqnarray*} M = x^TAx + b^Tx +c = 0 \end{eqnarray*}$

Es ist: $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 8 \end{eqnarray*}$

So ich habe dann eine ONB aus Eigenvektoren von A bestimmt:

$\begin{eqnarray*} T = \begin{pmatrix} \frac{-1}{\sqrt{3} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{-1}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{3} } & 0 & \frac{-2}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{3} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & \frac{1}{\sqrt{6} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier steht in der ersten Spalte der normierte Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_6 \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_6 = 6 \end{eqnarray*}$
in der 2ten Spalte der normierte Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_4 = 4 \end{eqnarray*}$
und in der 3ten Spalte der normierte Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_0 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann folgt $\begin{eqnarray*} T^TAT = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = D \end{eqnarray*}$

soweit stimmt es mit der Lösung auch überein!

Nun setzt ich x= Ty

dann folgt:

$\begin{eqnarray*} x^TAx + b^Tx + c = y^TTATy + b^TTy + c = y^TDy + b^TTy + c = 0 \end{eqnarray*}$

So wenn ich das da ausrechne bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} 6y_1^2 + 4y_2^2 + \frac{8}{\sqrt{2} } y_2 - \frac{12}{\sqrt{6} } y_3 \end{eqnarray*}$ (sieht ja garnicht so übel aus dachte ich zumindest)

dann habe ich Quadratisch ergänzt:

$\begin{eqnarray*} 6y_1^2 + 4y_2^2 + \frac{8}{\sqrt{2} } y_2 - \frac{12}{\sqrt{6} } y_3 =<br /> <br /> 6y_1^2 + 4(y_2^2 + \frac{2}{\sqrt{2} } y_2 + \frac{4}{8}) - \frac{12}{\sqrt{6} } + 8 = 2 \end{eqnarray*}$

sei nun: $\begin{eqnarray*} z_1 := y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2^2 := (y_2^2 + \frac{2}{\sqrt{2} } y_2 + \frac{4}{8}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_3 := y_3 \end{eqnarray*}$

dann folgt:

$\begin{eqnarray*} M = 6z_1^2 + 4z_2^2 - \frac{12}{\sqrt{6} }y_3 +6 = 0 \end{eqnarray*}$

So die Lösung ist allerdings:

$\begin{eqnarray*} M = \frac{1}{2}y_1^2 + \frac{1}{3}y_2^2 + \frac{1}{\sqrt{6} }y_3 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

So ich dachte nun die ganze Zeit, dass meine Lösung falsch ist, aber ich denke es nun nicht mehr und hierfür gerne eine Bestätigung, denn:

der Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ hat in meiner Lösung eine negatives Vorzeichen, was dadurch zustande kam, dass mein 30er Eigenvektor (Spalte 3 von T) im Vergleich mit dem aus der Lösung mit -1 multipliziert wurde,

wenn ich nun in meiner Gleichung alle y_i Anteile durch 2 Teile, dann bekomme ich exakt die Gleiche Lösung wie unser Prof...

das liegt wohl daran, dass ich mit der Gleichung: $\begin{eqnarray*} M = x^TAx + b^Tx +c = 0 \end{eqnarray*}$ und unser Dozent mit der Gleichung : $\begin{eqnarray*} M = x^TAx + 2b^Tx +c = 0 \end{eqnarray*}$ arbeitet, das ist genau der Faktor 2 der meine Lösung anders macht! Diese 2 vor dem b hat ja hoffentlich keinen Einfluss auf die Konstante oder?

Meine Ideen:
Kommt das so hin, oder muss ich mir einen anderen Weg einfallen lassen um die Normalform einer Quadrik zu bestimmen???

In einer sehr guten Beschreibung steht noch, dass man den letzen linearen Teil hier der $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ Anteil noch mit der Konstanzen zusammen schließen kann, das verstehe ich allerdings nicht ganz, ist das denn nötig??

Ich hoffe es macht sich jemand die Mühe das hier zu lesen, es war sehr viel Arbeit...

Danke vielmals!

22.08.2011, 11:10

Reksilat

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Hallo stevie,

Ich nehme an, dass es Dir um die euklidische Normalform geht. Dafür kommen alle Arten von längenerhaltenden Transformationen in Frage.
Also: Drehungen, Spiegelungen und Translationen (Verschiebungen).

Nun geht es Dir wohl darum, wie Du von
$\begin{eqnarray*} M = 6z_1^2 + 4z_2^2 - \frac{12}{\sqrt{6} }y_3 +6 = 0 \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} M = 6z_1^2 + 4z_2^2 + \frac{12}{\sqrt{6} }z_3 +12 = 0 \end{eqnarray*}$
kommst.

Dazu genügt die Transformation $\begin{eqnarray*} z_3=-y_3-\frac{\sqrt 6}{2} \end{eqnarray*}$ .
Diese ist längenerhaltend, da dies nur die Zusammensetzung einer Translation und einer Spiegelung ist.

Auf ähnliche Weise kannst Du sogar das Absolutglied komplett verschwinden lassen.

Gruß,
Reksilat.

22.08.2011, 11:24

steviehawk

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Okay Danke, ich kann mir das zwar nicht so gut vorstellen, mit diesen Drehungen und Translationen, aber ich bin froh, dass ich es nicht völlig falsch gemacht habe...

In der Lösung wird nämlich ab der Aufstellung der ONB bzw nach dem T definiert wurde ein anderer Weg eingeschlagen, den ich nicht wirklich nachvollziehen kann, hier wird dann irgendwie nur noch mit dem nicht verschwindenden Teil von A also mit diag(6,4) weiter gerechnet und ein kleines t durch ein LGS bestimmt und so weiter, das fand ich sehr kompliziert, wenn es doch so eigentlich ganz einfach ist!

Vielen Dank für deine Antwort,

Ich habe es hoffentlich richtig verstanden, dass beide Lösung korrekt sind oder???

22.08.2011, 11:40

Reksilat

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Zitat:

Okay Danke, ich kann mir das zwar nicht so gut vorstellen, mit diesen Drehungen und Translationen

Eine Drehung haben wir im letzten Schritt ja nicht mal. Nur eine Zusammensetzung von zwei Transformationen

Die erste sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das ist eine Spiegelung an der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Ebene.

Die zweite:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}x\\y\\z+c\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das ist eine Verschiebung um die Länge $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ entlang der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse.

Das sagt Dir nun, dass Dein Ergebnis und die vorgegebene Lösung sich nur in der Position im Koordinatensystem unterscheiden und gespiegelt sind.
Ansonsten sind sie aber völlig gleich und Deine Lösung ist demnach auch korrekt.

22.08.2011, 11:55

steviehawk

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Okay, das heisst wenn ich die Form der Quadrik angeben muss, habe ich ja die Gleiche Form, nur liegt sie noch etwas anders im Koordinatensystem oder?

In Wikipedia ist eigentlich eine gute Beschreibung, was das Auffinden der Form der Quadrik angeht, an Hand der Faktoren vor den z Anteilen, muss man so was auswendig lernen oder gibt's da sowas wie ne Faustformel??

22.08.2011, 13:13

Reksilat

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Zitat:

Okay, das heisst wenn ich die Form der Quadrik angeben muss, habe ich ja die Gleiche Form, nur liegt sie noch etwas anders im Koordinatensystem oder?

Ja.

Zitat:

In Wikipedia ist eigentlich eine gute Beschreibung, was das Auffinden der Form der Quadrik angeht, an Hand der Faktoren vor den z Anteilen, muss man so was auswendig lernen oder gibt's da sowas wie ne Faustformel??

Du meinst das hier? Da findest Du ja zum Beispiel die Quadrik aus diesem Thread gar nicht. Letztlich sind dort nur die Rang-3-Quadriken (alle Eigenwerte ungleich Null) aufgeführt. Alles wo dort $\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ ist, ist nämlich auf zweidimensionale Quadriken zurückführbar.

Ich finde die Darstellung im entsprechenden englischen Artikel oder dieses Skript besser.

Auswendiglernen sollte man das eigentlich auch nicht. Mit ein wenig Vorstellungsvermögen und mathematischem Gespür sieht man die Zusammenhänge zwischen den Normalformen und den zugehörigen geometrischen Gestalten.
Stures Auswendiglerenen ist in der Mathematik eh fehl am Platze und es bringt auch nichts. Wenn Du Dir mit ein paar Skizzen und Überlegungen klarmachst, warum eine Quadrik im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ eine gewisse Gestalt hat, hast Du viel mehr erreicht.

Gruß,
Reksilat.

22.08.2011, 13:47

steviehawk

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Wenn ich wüsste, wie man solche Quadriken zeichnet, dann könnte ich es mir sicherlich herleiten wie sie aussehen, aber leider habe da keine Ahnung von!

Hast du auch eine gute Beschreibung wie man Quadriken selber zeichnet?

Vielen Dank

23.08.2011, 10:18

Reksilat

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Du musst doch die Quadriken nicht zeichnen, um sie Dir vorstellen zu können. Ich selbst habe auch keine Ahnung, wie man im dreidimensionalen zeichnet, aber kann mir schon gut vorstellen, wie ein Kegel oder eine Ellipse aussieht.
Worauf genau willst Du denn jetzt eigentlich raus? Zeichnen oder Veranschaulichung/Typbestimmung?

Für die Veranschaulichung empfehle ich, die Quadrik scheibenweise zu betrachten. Wie schneidet sie die x-y-Ebene (also für z=0) wie sieht es in den dazu parallelen Ebenen z=1, z=2, z=-1 usw. aus?

24.08.2011, 17:46

steviehawk

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Okay mal ein einfaches Beispiel zum Anfangen:

1) $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 3y^2 = 5 \end{eqnarray*}$ beschreibt laut wiki eine Quadrik!

So wie komme ich darauf?

Du empfiehlst mir Quadrikschreibweise also so wie in 1) gegeben;

Ich habe aber nun keine Ahnung wie ich das Angehe!

Ich könnte überlegen wie es aussehe wenn y = 0 wäre, (so wie du meintest mit z=0), so dann bekomme ich $\begin{eqnarray*} 2x^2 - 5 = 0 \end{eqnarray*}$ das ist ja wohl eine Parabel, (obwohl mich das gleich Null irgendwie stört)

So also dann habe ich eine Parabel in der x - Ebene;

wenn ich nun das Gleiche mit dem y Wert machen will, also x = 0 was ist dann meine Funktionsachse?

Ich geh mal davon aus, dass ich dann 2 Parabeln bekomme, eine in der x Ebene und eine andere in der y- Ebene...

Und wie bekomme ich da meine Ellipse?

Danke

24.08.2011, 18:47

Reksilat

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Zitat:

Ich könnte überlegen wie es aussehe wenn y = 0 wäre, (so wie du meintest mit z=0), so dann bekomme ich $\begin{eqnarray*} 2x^2 - 5 = 0 \end{eqnarray*}$ das ist ja wohl eine Parabel, (obwohl mich das gleich Null irgendwie stört)

Wieso Parabel?
$\begin{eqnarray*} 2x^2-5=0 \end{eqnarray*}$ hat nur die Lösungen $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

24.08.2011, 19:08

steviehawk

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So jetzt macht das alles einen Sinn, vokalem mit dieser Null!

Ich habe also auf der X- Achse die Punkte $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{\frac{5}{2} } \end{eqnarray*}$ und auf der y-Achse die Punkte $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{\frac{5}{3} } \end{eqnarray*}$ , so wenn ich die nun alle verbinde (mit etwas Rundung), dann bekomme ich meine Ellipse!

Ich versuche es mal auf was größeres zu übertragen!

Danke schön!!!

24.08.2011, 19:52

steviehawk

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Okay eigentlich klappt das ganz gut, nur :

eine Ellipse hat die Forum $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 3y^2 - 5 = 0 \end{eqnarray*}$ das ist mir nun klar, da bekomme ich 2 werte für x, 2 für y und das ist eine Ellipse-,

wenn ich eine Ellipsoid betrachte, dann bekomme ich noch 2 Punkte für z und das ganze gibt diese elliptische Kugel...

So nun habe ich aber das hier: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{a^2}x^2 - \frac{1}{b^2}y^2 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ das soll ein elliptischer Zylinder sein, aber ich bekomme wieder nur vier Punkte, wenn ich für a und b mal irgendwas annehme.

Muss ich da noch mehr beachten?

Ob Kegel , Mittelpunkt , oder Parabolische Quadriken vielleicht?

Edit: Woher weiß ich z.B bei $\begin{eqnarray*} \frac{-x^2}{5} +1 = 0 \end{eqnarray*}$ ob ich 2 parallele Ebenen habe oder 2 parallele Geraden?

24.08.2011, 22:26

Reksilat

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Du musst schon sagen, ob Du im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ oder im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bist.

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 3y^2 - 5 = 0 \end{eqnarray*}$ eine ganz normale Ellipse.

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ stellt $\begin{eqnarray*} 2x^2 + 3y^2 - 5 = 0 \end{eqnarray*}$ einen Zylinder mit elliptischer Grundfläche dar, denn die Schnittfläche der Quadrik mit jeder zur x-y-Ebene parallelen Ebene (z=0,z=1,z=2,...) ist ein Zylinder. Das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ kann einfach jeden beliebigen Wert annehmen.

Insofern musst Du im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bei einer Quadrik, bei der der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Wert beliebig ist, nur die x-y-Ebene (also den zweidimensionalen Fall) betrachten. Das ist dann die Grundfläche eines Zylinders, welcher die Quadrik darstellt.

25.08.2011, 09:44

steviehawk

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Ob im 2 dimensionalen oder im 3 dimensionalen bin, sehe ich ja an der Matrix oder? Wenn es eine 2x2 Matrix ist Dim = 2 oder wenn ich 3x3 Matrix habe, dann habe ich Dim = 3, auch wenn ein Eigenwert 0 ist und so in der Normalform nur 2 Variablen auftreten!

Danke

25.08.2011, 11:22

Reksilat

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Ja. Normalerweise sollte es aus der Problemstellung ersichtlich sein, ob man sich im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ befindet.

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