Musteraufgabe Picard-Lindelöf ?

22.08.2011, 09:10

LyriaEL

Musteraufgabe Picard-Lindelöf ?

Hallo ihr Lieben!

Mir wurde hier schon so oft so gut geholfen, dass ich mit eurer Hilfe doch noch Hoffnung für eine Aufgabe sehe, die ich alleine nicht hinbekomme.
Hier die Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der Differentialgleichung und das maximale Lösungsintervall.

$\begin{eqnarray*} y' = (1+x)(1+y) \end{eqnarray*}$

Was ich bis jetzt einmal gemacht habe, da es sowieso verlange ist, ist die allgemeine Lösung berechnet:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{dy}{dx} = (1+x)(1+y) \frac{1}{1+y}*dy = (1+x)*dx \int \! \frac{1}{1+y} dy = \int \! (1+x) \, dx ln(|1+y|) = x + \frac{1}{2}*x^{2} + c y = e^{x+\frac{1}{2}*x^{2} }*C \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss ich aus den Tipps, dass man hier Picard-Lindelöf benutzen kann um dieses maximale Intervall zu bestimmen.
Weiss jemand auch eine alternative? Die Aufgabe ist von einer alten Prüfung und gibt nur 2 von insgesamt 10 Punkten. Von daher dürfte der Aufwand eigentlich nicht zu gross sein.

Wie auch immer, mit Picard-Lindelöf bin ich ziemlich auf Kriegsfuss, aber ich weiss, dass ich zunächst mal nachweisen muss, dass F(x) Lipschitz-stetig ist. Zudem brauche ich gerade diese Konstante L.

Mir ist nicht klar was das F(x) jetzt ist. Ist das die allgemeine Lösung oder ist F(x) = (1+x)(1+y) ?

Ich gehe einmal davon aus. Dann sieht das bis jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} |f(x, y_1 )-f(x, y_2)| \leq |(x,y_1)(x,y_2)| d.h. |(1+x)(1+y_1) - (1+x)(1+y_2)|=|(1+x)((1+y_1)(1+y_2))|\leq |...?| \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} |...?| \end{eqnarray*}$ weiss ich nicht, wie ich das verrechnen muss, sind die als 'normale' Vektoren zu betrachten, die ich dann einfach skalar multipliziere?

Weiter bin ich leider gar nicht erst gekommen.

Liebe Grüsse
lyri

22.08.2011, 20:18

ChristianII

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Hallo,

Zunächst zu Deiner Lösung: ich hoffe, ich trete Dir nicht zu nahe, aber so hätten wir bei uns den Lösungsweg nicht hinschreiben dürfen. Es handelt sich hier (so würde ich rangehen) um eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen, die zur Gewinnung der Lösung spezielle Techniken bzw. Notationsweisen vorschreibt.
Zudem stimmt meiner Meinung nach die Lösung nicht, der Fehler tritt gegen Ende auf, wenn man von der Notationsweise absieht.

Man kann eine Lösung durch Ausrechnen (so wie Du es gemacht hast) direkt angeben, sie ist auf ganz IR definiert und erfüllt dort überall die Bedingungen, was man wiederum durch Einsetzen und nachrechnen nachweisen kann.
Zum Nachweis, dass es eine Lösung auf gesamt IR (bezüglich jedem Anfangswertproblem) gibt, benötigt man also Picard-Lindelöf hier nicht.
Die Frage ist nun, ob man auch zeigen muss, dass diese Lösung auf gesamt IR eindeutig ist?

Nun zur Anwendung von Picard-Lindelöf:

Die Grundgleichung ist gegeben durch:
y'(x) = f(x, y(x)).

Also müssen wir hier, wie Du richtig bemerkt hast, die Funktion
f(x,y) = (1+x) * (1+y)
betrachten.

Nun wird es schwierig, da ich nicht weiß, welche Anwendungen bzw. Schlussfolgerungen aus dem Satz von Picard-Lindelöf Du kennst.

Man kann von gegeben Punkten x0, y0 eines Anfangswertproblems ausgehen und die Lipschitz-Bedingung bezüglich y in einem Quader, der diese beiden Punkte enthält, nachweisen; aufgrund dieser Eigenschaften gibt es dann ein Intervall I, in dem Lösungsfunktion y(x) existiert und dort sogar die eindeutige Lösung ist.

Wir gehen hier einmal von einem beliebigen kompakten Quader aus.
Dann ist für ein "festes" x:
$\begin{eqnarray*} |f(x,y1) - f(x,y2)| = |(x + 1)*(y1 + 1) - (x+1)*(y2+1)| = |(x+1)*(y1-y2)| = |x+1| * |y1 - y2| = L * |y1 - y2| \end{eqnarray*}$

Ein solches L gibt es, seine "Größe" hängt von dem Quader ab.

Also können wir begründen: Zu jedem Anfangswertproblem gibt es ein Intervall I, in dem es eine Lösungsfunktion y(x) gibt, die dort sogar eindeutig ist.
Dass es eine Lösung auf gesamt IR gibt, kann man durch Rechnung zeigen, wie wir festgestellt haben - diese ist in einem Intervall I sogar die einzige Lösung. Diese Eigenschaften reichen aus, um zu begründen, dass die am Anfang errechnete Lösung sogar auf gesamt IR eindeutig ist (man überlege, warum das so ist).

In manchen Fällen kann man die Lipschitzbedingung bezüglich y aber auch so begründen, ohne ein "L" direkt anzugeben:
1) Ist die Funktion f im definierten Quader partiell nach allen Veränderlichen (y1,y2,..., yn) differenzierbar und sind diese parteillen Ableitungen im Quader beschränkt, dann erfüllt f ebenfalls die gesuchte Lipschitzbedingung bezüglich y in diesem Quader.
oder
2) Sind diese partiellen Ableitungen nach (y1,y2,.., yn) stetig, so sind sie auf einem kompakten Quader beschränkt, erfüllen also ebenfalls die Lipschitzbedingung bezüglich y in diesem kompakten Quader.

Dies ist hier der Fall: Die partielle Ableitung nach "y" ist stetig, sie ist also auf einem kompakten Quader ebenfalls beschränkt ("L" bräuchte nicht angegeben zu werden).

Gruß
Christian

22.08.2011, 22:11

ChristianII

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Hallo,

eine Korrektur:
Zum Nachweis der Lipschitzbedingung bezüglich y sollte es am Schluss natürlich
"<=" heißen, d.h, die entsprechende Zeile sollte lauten:

$\begin{eqnarray*} |f(x,y1) - f(x,y2)| = |(x + 1)*(y1 + 1) - (x+1)*(y2+1)| = |(x+1)*(y2-y1)| = |x+1| * |y2 - y1| \leq L * |y2 - y1| \end{eqnarray*}$

Gruß
Christian

23.08.2011, 07:14

LyriaEL

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Hallo Christian

Zunächst einmal danke für deine ausführliche Antwort.

Du trittst mir nicht zu nahe, aber ich finde es beunruhigend, wenn du sagst, dass mein ganzes Vorgehen nicht korrekt ist.

Ich habe versucht die Gleichung durch Separation der Variablen zu lösen. Die ganze dy/dx Notation finde ich etwas verwirrend, doch dachte ich, dass ich es nun einigermassen richtig verwenden würde.
Ich habe natürlich einige Schritte übersprungen, aber so wie ich dich verstanden habe, stimmt es ja insgesamt nicht.

Ich werde nochmal aufzeigen, was ich gerechnet habe und vor allem, was ich mir dabei überlegt habe. Ich hoffe du kannst mir dann sagen, wo ich auf Abwege gekommen bin.

$\begin{eqnarray*} y' = y'(x) = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

Sprich: Ableitung von y nach x. Das stimmt doch so?
Das nur vorweg. Ich habe ja am Anfang die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y' = (1+x)*(1+y) \end{eqnarray*}$

Ich habe dann versucht alles was irgendwie y's drin hat auf die eine und alles mit x's drin auf die andere Seite zu schieben. (Man soll die ja separieren)

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{1+y} = 1+x \end{eqnarray*}$

Aus verschiedenen Beispielaufgaben geht dann hervor, dass spätestens jetzt das y' mit dy/dx ersetzt und das dx dann auf die Seite der x's schiebt.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{dy}{dx} }{1+y} = \frac{dy}{dx * (1+y)} = (1+x) \Rightarrow \frac{dy}{1+y} =(1+x)*dx \end{eqnarray*}$

Dann wird immer ganz lässig einfach kurz noch das Integralzeichen vor beide Terme geschrieben und integriert. Das verstehe ich zwar nicht so 100% aber nun gut, doch knapp nachvollziehbar.

Zum integrieren: Mir fehlt leider etwas Übung, von daher ist es sehr gut möglich, dass ich Fehler gemacht habe. Ich finde sie jedoch nicht in meiner Rechnung.
Zum $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ muss ich vielleicht sagen, dass das bei mir so ein 'Mädchen für alles' ist, ich dachte das sei ok. Damit meine ich: Eigentlich bräuchte es ja auf beiden Seiten der Gleichung eine Konstante, aber ich bin jetzt davon ausgegangen, dass eine reicht, sie 'schluckt' sozusagen die andere.
Danach habe ich das ganze noch exponiert um den ln wegzubekommen.
Auch hier habe ich die Konstante c wieder verändert in dem ich einfach C geschrieben habe statt e^c aber auch hier dachte ich, das wäre ok.

Oha... vielleicht sehe ich jetzt den Fehler den du gemeint hast, vielleicht ist es auch was anderes.
Ich habe vergessen -1 auf der linken Seite zu subtrahieren.

$\begin{eqnarray*} y = x^{x^{2}+\frac{1}{2}x } *C -1 \end{eqnarray*}$

Soviel mal hierzu.

Ich frage mich die ganze Zeit was du mit IR meinst, aber ich glaube ich habe es eben rausgefunden, du meinst damit die reelle Zahlenmenge?

Ich denke nicht, dass man die Eindeutigkeit der Lösung zeigen muss, so wie ich die Prüfung einschätze. Wie gesagt, das ist eine von 5 Aufgaben, welche man innerhalb 60 min lösen muss, wobei keine Hilfsmittel erlaubt sind. Ich finde es daher sinnvoll anzunehmen, dass es auch ohne Picard-Lindelöf geht.

Zum Picard-Lindelöf:

Du sagst, dass du das x festhältst. Gibt es einen Grund x festzuhalten, oder könnte man da genau so gut auch y nehmen?

Zum letzten Schritt in deiner Gleichung

$\begin{eqnarray*} |1+x| *|y_2-y_1|\leq L*|y_2-y_1| \Rightarrow L := |x+1| \end{eqnarray*}$

Da wir x fest gewählt haben, ist L ein konstanter Wert, ja?
(Übrigens ist mir mein super riesen doofer Fehler in dieser Gleichung aufgefallen... natürlich ist $\begin{eqnarray*} (x+1)(y1+1)-(x+1)(y2+1) = (x+1)(y1+1-1-y2) = (x+1)(y1-y2) \end{eqnarray*}$ ... -.- )

Zitat:

Also können wir begründen: Zu jedem Anfangswertproblem gibt es ein Intervall I, in dem es eine Lösungsfunktion y(x) gibt, die dort sogar eindeutig ist.
Dass es eine Lösung auf gesamt IR gibt, kann man durch Rechnung zeigen, wie wir festgestellt haben - diese ist in einem Intervall I sogar die einzige Lösung. Diese Eigenschaften reichen aus, um zu begründen, dass die am Anfang errechnete Lösung sogar auf gesamt IR eindeutig ist (man überlege, warum das so ist).

Die einzige Lösung? Gibt es denn nicht mehrere wegen der Konstanten C?

Übrigens verstehe ich leider sehr wenig davon, wenn du von Quadern sprichst, zumindest nicht in diesem Zusammenhang.

Sehe ich das richtig, dass das was du mir gezeigt hast jetzt eigentlich 'nur' die Anwendung der Lipschitz-Konstante ist und wir Picard-Lindelöf gar nicht verwendet haben? Oder wäre gerade das, was du mir den Quadern sagen willst?
Im Satz wie ich ihn kenne (kennen ist wohl etwas übertrieben....) wird gerade das maximale Intervall noch bestimmt.

Danke für deine Zeit
lyri

26.08.2011, 10:49

ChristianII

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Hallo,

entschuldige für meine späte Antwort, leider habe ich zurzeit keinen Internetzugang.

Es kann durchaus sein, dass bei euch Deine Notationsweise so akzeptiert wird; da müsstest Du Dich vielleicht mit deinen Studienkollegen austauschen.

Deine Notationsweise wäre bei uns deshalb nicht akzeptiert worden, weil Du etwas "achtlos" mit den Ausdrücken dx/dy "herumjonglierst", dies darf man nicht so einfach; denn was sollen sie bedeuten?

Von Quadern spreche ich, weil diese Bezeichnung in der Variante von Picard-Lindelöf, die ich kenne, so gebraucht wird.

Leider habe ich gerade nicht mehr Zeit, ausführlicher zu antworten. Vielleicht schreibst Du den Satz von Picard-Lindelöf mal so hin, wie Du ihn kennst. Wenn noch Bedarf besteht, melde ich mich nochmals.

Gruß
Christian

26.08.2011, 13:08

gonnabphd

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Dann übernehme ich hier mal. (Ich glaube nicht, dass noch viel zu tun ist - scheint doch alles i.O. zu sein, soweit)

Zitat:

Ich habe versucht die Gleichung durch Separation der Variablen zu lösen. Die ganze dy/dx Notation finde ich etwas verwirrend, doch dachte ich, dass ich es nun einigermassen richtig verwenden würde.

Das denke ich auch. Solange dein Prof nicht irgendwie einen Stock im... Naja, jedenfalls kann man das (formal) schon so machen mit der Variablenseparation (vor allem kann man das rigoros mit Differentialformen begründen, aber das nur so nebenbei für alle, die meinen, an der Schreibweise sei was falsch). Lehrer

Also weiter

Zitat:

Oha... vielleicht sehe ich jetzt den Fehler den du gemeint hast, vielleicht ist es auch was anderes. Ich habe vergessen -1 auf der linken Seite zu subtrahieren. $\begin{eqnarray*} y = x^{x^{2}+\frac{1}{2}x } *C -1 \end{eqnarray*}$ Soviel mal hierzu.

Ich denke du meinst hier $\begin{eqnarray*} y = Ce^{x+\frac{1}{2}x^2 } -1 \end{eqnarray*}$ (wie im ersten Beitrag richtig ausgerechnet bis aufs fehlende -1). Wenn ja, dann sehe ich das gleich wie du. Und wenn man wieder ableitet sieht man auch, dass

$\begin{eqnarray*} y' = (x+1)Ce^{x+\frac12x^2} = (x+1)(y+1) \end{eqnarray*}$

Also alles richtig. Freude

Zitat:

Zum Picard-Lindelöf:

Du sagst, dass du das x festhältst. Gibt es einen Grund x festzuhalten, oder könnte man da genau so gut auch y nehmen?

Nein, man muss x festhalten. So wie das halt im Satz steht.

Zitat:

Da wir x fest gewählt haben, ist L ein konstanter Wert, ja?
(Übrigens ist mir mein super riesen doofer Fehler in dieser Gleichung aufgefallen... natürlich ist
$\begin{eqnarray*} (x+1)(y1+1)-(x+1)(y2+1) = (x+1)(y1+1-1-y2) = (x+1)(y1-y2) \end{eqnarray*}$ ... -.- )

Zwei mal korrekt.

Zitat:

Die einzige Lösung? Gibt es denn nicht mehrere wegen der Konstanten C?

Zu einem Anfangswertproblem gehört nicht nur die Differentialgleichung, sondern auch ein Anfangswert, wäre z.B. bei deiner DGL

$\begin{eqnarray*} y(0) = 2 \end{eqnarray*}$

gefordert, so müsstest du dem C einen konkreten Wert geben, damit das erfüllt ist.

$\begin{eqnarray*} 2 = y(0) = C - 1 \end{eqnarray*}$

Folglich wäre dann $\begin{eqnarray*} y(x) = 3e^{x+\frac12x^2} - 1 \end{eqnarray*}$ die eindeutige Lösung zum Anfangswerteproblem

$\begin{eqnarray*} y' &=& (1+x)(1+y) \\ y(0) &=& 2 \end{eqnarray*}$

Grüsse Wink

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