Eigenwert und Vektoren

22.08.2011, 12:33	white_eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert und Vektoren Meine Frage: Hallo, ich sitz grad voll auf der Leitung, hoffe ihr könnt mir weiter helfen. Ich muss die Eigenwerte und Eigenvektoren von der matritze(2x2) ( -2 0 ) ( -4 -2 ) rechnen. Da stosse ich jedoch auf ein problem. Meine Ideen: Ich habe bis jetzt mit der formel det(A-LI)=0 (I=identität, L=eigenwert) => L= -2 als doppelten eigenwert. Für den ersten Vektor habe ich v1=(0 , 1) (was richtig ist). Um den 2. nun zu rechnen müsste ich (laut meinem mathe-buch) (A-LI)v2 = v1 rechnen. das bringt mir das system: 0x + 0y = 0 und -4x + 0y = 1. Da sollte auch eigentlich (0,1) (oder respektiv k(0,1) ) dabei herauskommen, also 2 vektoren die nich linear unabhängig von einander sind. aber ich find da (-1/4 , k).
22.08.2011, 12:53	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Vektoren Hallo, ersteinmal kannst du die Eigenwerte schon direkt ablesen, weil die Matrix Dreiecksgestalt hat. Zum Thema " (A-LI)v2 = v1 " Damit bestimmt man den Hauptvektor v2, nicht Eigenvektor v2!
22.08.2011, 13:30	white_eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal, vielen Dank für die schnelle Antwort. Ist komisch, uns wurde beigebracht, wenn man 2 Eigenwerte hat, die gleich sind, rechnet man den ersten eigenvektor halt auf die übliche Art: (A - LI) v1 = (0 , 0) und dann den 2. mit der Formel: (A-LI) v2 = v1 Wenn man dann einen v2 herausbekommt, sodass v1 und v2 nicht linear unabhängig sind, dann gibt es nur einen Eigenvektor.
22.08.2011, 13:34	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
Hattet ihr das Thema? Verallgemeinerter Eigenraum / Hauptraum. Wenn man $\begin{eqnarray} (A - \lambda I) v_2 = v_1 \end{eqnarray}$ berechnet, wobei $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor ist, dann ist die Lösung $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ nunmal ein Hauptvektor zum Hauptraum $\begin{eqnarray} \ker (A-\lambda I)^2 \end{eqnarray}$ , denn mit (A - \lambda I) v_2 = v_1 folgt $\begin{eqnarray} (A-\lambda I)^2 v_2 = (A - \lambda I) (A - \lambda I) v_2 = (A - \lambda I) v_1 = 0 \end{eqnarray}$ Warum das ganze? Der Punkt hier ist, dass der Eigenraum zum Eigenwert -2 nur eindimensional ist, was leicht ersichtlich ist!
22.08.2011, 13:40	white_eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wir haben nie was von Eigenraum oder Hauptraum gemacht. Es geht halt nur darum die Eigenwerte zu bestimmen. Wir haben in unserem Buch stehen: Wenn beide Eigenwerte gleich sind, ergeben sich 2 fälle: - Es gibt 2 Eigenvektoren die linear unabhängig sind, und somit ist die Matrix A diagonalisabel - Wenn sie linear nicht unabhängig sind, hat man nur einen Eigenvektor, A ist nicht diagonalisabel. Ich verstehe nicht wie man nun sieht dass es nur einen Eigenvektor gibt.
22.08.2011, 14:17	white_eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich glaub es hat sich erledigt, hab mich geirrt mit der Formel, du hast Recht. Ab er jetzt häng ich bei einem anderen beispiel, hab jetzt: A= (-1 0) (0 -1) Eigenwert ist -1. Wie rechnet man jetzt die Eigenvektoren? (Resultat ist (0,1) und (1,0))
Anzeige

22.08.2011, 14:57	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (A - (-1) I) = (A+I) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} \ker (A - (-1) I) = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} (0,1), (1,0) \end{eqnarray}$ spannen $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ auf

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »