Nicht stetig aber trotzdem diff'bar?

22.08.2011, 13:07	109Larry	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht stetig aber trotzdem diff'bar? moin, ich hab ne frage angenommen ich habe die funktion f(x)= -1 für x <0 1 für x >= 0 f ist nicht stetig in x=0, aber ist die funktion hier trotzdem differenzierbar? es gilt ja: differenzierbar => stetig nicht stetig => nicht differenzierbar aber die ableitung der funktion wäre doch f'(x) =0, da die steigung von f überall 0 ist - auch an der stelle x=0, wo sie nicht stetig ist. wo sind meine denkfehler? danke imvoraus
22.08.2011, 13:25	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne mal den links- und rechtseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten in der 0 aus, also $\begin{eqnarray} \lim\limits_{h \uparrow 0}\frac{f(h) - f(0)}{h} = \ ? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim\limits_{h \downarrow 0}\frac{f(h) - f(0)}{h} = \ ? \end{eqnarray}$
22.08.2011, 13:26	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht stetig aber trotzdem diff'bar? Deine Aussage nicht stetig => nicht differenzierbar ist völlig richtig. Im klassischen Ableitungsbegriff ist hier auch Ende. Dein Denkfehler ist, dass die Funktion in x=0 nicht differenzierbar ist. Wie kommst du auf hier auf eine Ableitung von 0? Überlege dir die Definition der klassischen Ableitung.
22.08.2011, 13:52	109Larry	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, also h-->0 und f(0) =1 $\begin{eqnarray} \lim\limits_{h \uparrow 0}\frac{f(h) - 1}{h} = \frac{-1 - 1}{0}\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim\limits_{h \downarrow 0}\frac{f(h) - 1}{h} = \frac{1 - 1}{0}\ \end{eqnarray}$ Jetzt ghabe ich in beiden Fällen die 0 im Nenner :-(
22.08.2011, 13:55	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Anders: Rechne doch erst mal aus, was du weißt. f(h) = 1 bzw. f(h) = -1, lasse das h im Nenner erst mal stehen und vereinfache den Zähler so weit es geht.
22.08.2011, 14:07	109Larry	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim\limits_{h \uparrow 0}\frac{f(h) - 1}{h} = \frac{-2}{h}\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim\limits_{h \downarrow 0}\frac{f(h) - 1}{h} = \frac{0}{h}\ \end{eqnarray}$ Wie kann ich denn den Zähler vereinfachen, wenn da nur ein Term steht?
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22.08.2011, 14:08	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ist schon gut, das wollte ich sehen. 0/h, was ist das, immer? Was ist dann der Grenzwert? Wie sieht es bei dem anderen Grenzwert aus? Edit: Die Limiten fehlen beim zweiten Ausdruck.
22.08.2011, 14:27	109Larry	Auf diesen Beitrag antworten »
also, wenn bei -2/h, h-->0 geht, dann geht der Bruch gegen + unendlich. bei 0/h geht der Bruch gegen 0, da der Zähler konstant 0 ist. OK, also existiert der Limes nicht :-) rein algebraisch also ein widerspruch, aber von der "logik" her, dachte ich, dass die Ableitung existieren müsste, da wir ja 2 zur x-Achse parallele Geraden (oder genauer: Strahlen) haben. Und die haben an jeder stelle die steigung 0 und sind halt bei x=0 unterbrochen - versteht ihr was ich meine oder wie ich gedacht habe? Aber OK, jetzt hab ichs verstanden, danke Cel und Jeremy

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