Grenzwertsätze

22.08.2011, 14:53

IHC

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Grenzwertsätze

Hi leute,

ich wollte euch mal fragen, ob ich in folgender Rechnung alles richtig
gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{5n+200}{7n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n(5+\frac{200}{n})}{n(7+\frac{1}{n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{5+\frac{200}{n}}{7+\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{n \to \infty}(5+\frac{200}{n})}{\lim_{n \to \infty}(7-\frac{1}{n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{n \to \infty}5+\lim_{n \to \infty}\frac{200}{n}}{\lim_{n \to \infty}7-\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5+0}{7-0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{7}=0,7143 \end{eqnarray*}$

mfg IHC Hammer

Hammer

22.08.2011, 15:08

Equester

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Abgesehen davon, dass du von -1 auf +1/n kommst, ist alles richtig.
Der angesprochene Fehler wirkt sich ohnedies nicht aus -> ob du nun + oder - Null machst
ist ja egal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde 5/7 als Ergebnis akzeptieren. Es wäre mir sogar lieber, da es genauer ist,
als dein Ergebnis!

22.08.2011, 15:17

IHC

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Ok, danke dir, das mit dem + war ein Schreibfehler. smile

smile

mfg IHC

22.08.2011, 15:17

Equester

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Gerne

Wink

22.08.2011, 15:19

IHC

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Ich hätte noch zwei drei Aufgaben, kann ich sie dir hier reinstellen, damit
du sie mal nachschauen könntest?

22.08.2011, 15:24

Equester

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Bedien dich Augenzwinkern

Augenzwinkern

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22.08.2011, 15:27

IHC

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1+n^{2}-3n}{n+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n(\frac{1}{n}+n-3)}{n(1+\frac{4}{n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}+\lim_{n \to \infty}n-\lim_{n \to \infty}3}{\lim_{n \to \infty}1+\lim_{n \to \infty}\frac{4}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0+\infty+3}{1+0}=\frac{\infty}{1}=\infty \end{eqnarray*}$

22.08.2011, 15:30

Equester

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Ist zwar alles richtig, aber nicht die übliche Vorgehensweise.
Man klammert immer die höchste Potenz aus! Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.08.2011, 15:31

IHC

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Mein Lehrer sagte, die höchste Potenz im Nenner.
Hab ich so allso doch richtig, oder?

ps: Ich mach schonmal die nächste, um sie dir dann zu zeigen. Big Laugh

Big Laugh

22.08.2011, 15:33

Equester

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Ok, wenn dein Lehrer das so will.
Wie gesagt, ist richtig. Freude

Freude

22.08.2011, 15:33

Keff91

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Wenn du einen Grenzwert bestimmen möchtest, dann ja, die höchste Potenz im Nenner.
Denn wäre die höchste Potenz im Zähler, dann würde es divergieren smile

smile

22.08.2011, 15:34

IHC

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divergieren ist doch, wenn es gegen unendlich geht, oder verwirrt

verwirrt

22.08.2011, 15:36

Keff91

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Jain,

ich habe es zu schwammig formuliert.

wäre die höchste Potenz im Zähler, dann würde es bestimmt divergieren, also gegen minus oder plus unendlich.

Divergenz kann allgemein auch anders aussehen, z.B. so:

Eine Folge mit (-1) für n gerade und (+1) für n ungerade

22.08.2011, 15:36

Equester

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Ja, es wäre schlimm, wenn etwas anderes herauskommen würde, Keff91^^

Es steht in unserem Falle statt $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{1}=\infty \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0}=\infty \end{eqnarray*}$ da.

22.08.2011, 15:37

IHC

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Aha, ich glaube jetzt komme ich drauf.

Ich mache mal die nächste Aufgabe für Equester. Big Laugh

Big Laugh

22.08.2011, 15:45

IHC

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{7n+1000}{3n^{2}+n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n(7+\frac{1000}{n})}{n(3n+1+\frac{1}{n})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{n \to \infty}7+\lim_{n \to \infty}\frac{1000}{n}}{\lim_{n \to \infty}3n+\lim_{n \to \infty}1+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7+0}{\infty+1+0}=\frac{7}{\infty} \end{eqnarray*}$

22.08.2011, 15:51

Equester

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Lass mich deine vorherigen Worte wiederholen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Mein Lehrer sagte, die höchste Potenz im Nenner.

Dein Ergebnis ist zwar richtig, aber so will ich das nicht dastehen haben!
$\begin{eqnarray*} \frac{7}{\infty}=? \end{eqnarray*}$

22.08.2011, 15:53

IHC

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$\begin{eqnarray*} \frac{7}{\infty}= \end{eqnarray*}$ eine sehr kleine Zahl. Big Laugh

Big Laugh

Aber wie soll ich das denn mit $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ machen?
Ich habe im Zähler ja gar kein $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ stehen.

22.08.2011, 15:59

Equester

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Einfach mal machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wie lautet die kleineste Zahl (betragsmäßig)?

22.08.2011, 16:02

IHC

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$\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

22.08.2011, 16:09

Equester

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Aha...und jetzt nehmen wir den Betrag.
Dann haben wir... $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .
Das ist die kleineste Zahl? Oo

22.08.2011, 16:10

IHC

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Ehm, nein.

Ist meine Rechnung somit falsch? böse

böse

22.08.2011, 16:11

Equester

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Ich sagte doch schon, dass sie richtig ist. Nur, wenn du das Ergebnis so stehen lässt,
gibts Ärger!

Was ist 1/1000 oder 1/10000000 oder eben 7/10000000000000000000000000?

Außerdem hast du nicht befolgt, was dein Lehrer sagte:

Zitat:

Mein Lehrer sagte, die höchste Potenz im Nenner.

Dein Weg ist zwar völlig richtig, aber wenn schon denn schon!^^

22.08.2011, 16:13

IHC

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Soll ich es also nocham machen, nur diesmal statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einfach
$\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

22.08.2011, 16:13

Equester

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Yup.

Sei mal nicht so geizig mit den Antworten Big Laugh

Big Laugh

Zwei Fragen zwei Antworten bitte Engel

Engel

22.08.2011, 16:20

IHC

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1.
1/1000=0,001
1/10000000=0,0000001
7/10000000000000000000000000=0,0000000000000000000000007

2.
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}(\frac{7}{n}+\frac{1000}{n^{2}})}{n^{2}(3+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir diesen Schritt ansehe, komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{0}{3}=0 \end{eqnarray*}$ .
Somit wäre der Grenzwert bei 0 verwirrt

verwirrt

22.08.2011, 16:22

Equester

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Freude

Zu 1.: Vereinfacht gesagt....wir sind bei 0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

-> $\begin{eqnarray*} \frac{a}{\infty}=0 \end{eqnarray*}$

22.08.2011, 16:25

IHC

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Ok, habe es verstanden.

Aber mal ne Frage, -1000000 ist doch kleiner als 0,0000001.
Oder verwechsle ich da gerade was?

ps: Bin mal schnell was essen. Wink

Wink

22.08.2011, 16:28

Equester

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Deswegen meine Aussage "Im Betrag" -> |-1000|=1000>>>0!

Ok, wenn es verstanden ist, dann weise ich dich mal auf ein paar Besonderheiten hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a=\frac{5n^2}{3n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac{5n^2}{3n^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=\frac{5n^2}{3n^3} \end{eqnarray*}$

Kannst du mir von den Dreien den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$
bestimmen? Kannst du mir sagen, worauf ich hinaus will? Augenzwinkern

Augenzwinkern

En Guten

smile

22.08.2011, 16:49

IHC

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Wieder da. Hammer

Hammer

Mit a möchtest du ausdrücken, dass ne sehr große Zahl, durch eine große Zahl
geteilt wird.

Mit b möchtest du ausdrücken, dass ne große Zahl, durch eine fast gleich große
Zahlt geteilt wird.

Mit c möchtest du ausdrücken, dass ne große Zahl, durch eine sehr große Zahl
geteilt wird.

Mehr kann ich dir aber jetzt nicht sagen. traurig

traurig

22.08.2011, 16:57

Equester

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Prinzipiell richtig.
Aber ich gehe weiter -> Rechne mal jeweils das Ergebnis aus. Als nimm den Limes.
Was fällt dir dann auf?

22.08.2011, 16:59

IHC

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Ich stehe auf dem Schlau unglücklich

unglücklich

einfach a= durch Limes ersetzen verwirrt

verwirrt

22.08.2011, 17:02

Equester

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Nein

Augenzwinkern

Ich hätte gerne den Limes für $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=\lim_{n \to \infty}\frac{5n^2}{3n}=? \end{eqnarray*}$

usw.

Vllt fällt dir dann etwas auf. Zu deinem vorherig gesagtem!^^

22.08.2011, 17:03

IHC

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Also das wäre dann sehr große Zahl geteilt durch Mini-Zahl. Big Laugh

Big Laugh

22.08.2011, 17:04

Equester

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Ausrechnen!

22.08.2011, 17:08

IHC

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Oh man(n), du musst wissen, dass ich sehr faul bin. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n(5n)}{n(3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{5n}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{3}=\infty \end{eqnarray*}$

Beim letzten Schritt bin ich mir nicht so ganz sicher.

22.08.2011, 17:11

Equester

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Ist richtig.
Mach mit b und c weiter!

22.08.2011, 17:15

IHC

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^{2}(5)}{n^{2}(3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{3}=1\frac{2}3 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig verwirrt

verwirrt

22.08.2011, 17:16

Equester

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Lass es bei $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt c.

22.08.2011, 17:19

IHC

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Ok, mach ich. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^{3}(\frac{5}{n})}{n^{3}(3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{5}{n}}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{3}=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt lehne ich mich mal stark aus dem Fenster und sage, dass dies auch
richtig ist.

Wenn nicht, fress ich nen Besen. Big Laugh

Big Laugh

(Wär ja nicht das erste mal, stimmts?)

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