Lineare Funktion - Nullstelle, Fixpunkt, Fläche, k und d

22.08.2011, 15:31

Alina123

Lineare Funktion - Nullstelle, Fixpunkt, Fläche, k und d

Angabe:

Bestimme k und d zur linearen Funktion mit der Gleichung 3x-2y+5=0, zeichne den Graph, berechne die Nullstelle, den Fixpunkt und die Fläche des Dreiecks, die der Graph mit den Koordinatenachsen bildet.

Mein Versuch:

$\begin{eqnarray*} 3x-2y+5=0 |+2y, :2 \frac{3x+5}2=y \end{eqnarray*}$

Bestimme k und d
$\begin{eqnarray*} k = 3/2 d = 5/2 \end{eqnarray*}$

Nullstelleberechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x+5}2=0 | *2, -5, :3 x = -\frac{5}3 \end{eqnarray*}$

Nullstelle: $\begin{eqnarray*} -\frac{5}3 \end{eqnarray*}$

Fixpunkt bestimmen:

Ich weiss nichtmal was ein Fixpunkt ist und finde dazu im Internet nichts anfängerfreundliches.
Der Fixpunkt, so scheint mir, hat wohl etwas mit der Art der Funktion zu tun. So hat eine homogene Funktion einen Fixpunkt von (0|0) heist das, dass der Fixpunkt einer inhomogenen Funktion gleich d ist? Wohl eher weniger, denn das ist ja einfach nur der Ordinatenabschnitt?

Flächenbestimmung des Dreiecks:

Damit wird wohl der zweite Quadrant mit der positiven Ordinaten- und der negativen Abszissenachse sein.
Darum denke ich mir, dass die Fläche $\begin{eqnarray*} A = \frac{2a*2b}{2}= \end{eqnarray*}$
sein wird.

Die Seite a habe ich ja schon mit der Nullstelle errechnet.
a=1.67
$\begin{eqnarray*} b=\frac{3*0+5}2=2.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1.67*2.5}{2}=2.0875 cm^2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mir kann, trotz des schönen Wetters, jemand helfen.

22.08.2011, 15:48

Equester

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Hi Alina,

ist alles soweit richtig.

Anmerkungen:
b hättest du einfacher haben können. Das ist einfach d^^

Dein Flächeninhalt ist ungenau! Runde nur das Ergebnis, nie aber Zwischenergebnisse!
$\begin{eqnarray*} A = \frac{\frac{5}{3}*2.5}{2}=2.083 cm^2 \end{eqnarray*}$

Du hast einen Fehler in der Formel, aber richtig weitergerechnet.
$\begin{eqnarray*} A = \frac{a*b}{2} \end{eqnarray*}$

Zu dem Fixpunkt: Ich muss zugegeben, der ist/war mir selbst unbekannt. Folgendes
aus wiki:
Allgemeiner wird als Fixpunkt in der Mathematik ein Punkt x bezeichnet, der die Gleichung f(x) = x erfüllt.

Will heißen wir haben f(x)=x und g(x)=(3x+5)/2

Damit kommst du weiter? Augenzwinkern

22.08.2011, 16:54

Alina123

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Danke für die hilfreichen Tipps.
Keine Ahnung wie(so) ich im Zähler die 2er notiert habe. Es hat hier 34°C, darauf schieb ichs Hammer

ad Fixpunkt:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{2y-5}{3} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x=\frac{2x-5}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x=2x-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-5 \end{eqnarray*}$

=>
$\begin{eqnarray*} y=\frac{3*(-5)-5}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-5=x \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen? -5 ist der (einzige) Fixpunkt meiner Funktion?

22.08.2011, 17:01

Equester

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Deine erste Zeile kann ich nicht nachvollziehen.
Warum hast du da ein y drin? Warum ersetzt du das einfach durch das x?

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2x-5}{3} \end{eqnarray*}$
So ists richtig -> f(x)=g(x) Augenzwinkern

Das Ergebnis ist richtig -> An P(-5|-5) schneiden sich beide Geraden.

Ja, wir haben nur einen Fixpunkt -> Eine Gerade kann eine andere Gerade entweder
- einmal (Schnittpunkt)
- unendlich mal (identisch)
- kein mal (parallel)
schneiden. Etwas anderes gibt es nicht! Augenzwinkern

22.08.2011, 17:19

Alina123

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Ich dachte das wäre erlaubt und man könne es so anschreiben.

Das hier ist vermutlich genauso falsch...
$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) f(x)=\frac{2x-5}{3} f(3x)=2x-5 f(x)=-5 \end{eqnarray*}$
Das würde doch nur eine Parallele zur Abszisse beschreiben, oder?
Aber wie kann ich das sonst niederschreiben?
f(x)=g(x) ist doch zu wenig. Oder war "nur" die erste Zeile falsch notiert und der Rest kann so stehen bleiben?

Und was ist überhaupt g(x)? Die Umkehrfunktion von f(x)?

22.08.2011, 17:25

Equester

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Ich habe mir erlaubt den Funktionen Namen zu geben. Damit wir wissen von was wir reden Big Laugh

f(x)=x
und
g(x)=(3x)/2+5/2

g(x) ist also unsere Funktion nach y aufgelöst.
Wenn wir schauen wollen, wo beide Funktionen sich schneiden, müssen wir sie
gleichsetzen -> f(x)=g(x).
Wie du siehst ist hier kein y mehr beinhaltet! Das wird gleichgesetzt.

Ja, es war nur die erste Zeile "falsch" -> Hier wäre es sogar richtig, aber nur weil
x=y :P

Zitat:

Das hier ist vermutlich genauso falsch...
$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x-5}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(3x)=2x-5 \end{eqnarray*}$ -> Du multiplizierst mit 3 -> warum nimmst du die 3, dann in das f() mit rein verwirrt

$\begin{eqnarray*} f(x)=-5 \end{eqnarray*}$ D
as würde doch nur eine Parallele zur Abszisse beschreiben, oder?
Aber wie kann ich das sonst niederschreiben?

Das hab ich nicht gesehen. Das ist falsch. In mehrfacher Hinsicht. Siehe Erklärung oben!

22.08.2011, 18:11

Alina123

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Ich glaube das Ergebnis des Fixpunktes war rein zufällig richtig.
Angenommen die Funktionsgleichung hieße $\begin{eqnarray*} y = \frac{3x+8}{3} \end{eqnarray*}$
, wie kann ich dann auf den Fixpunkt schließen? Nur durch ausprobieren?

22.08.2011, 18:14

Equester

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Nennen wir deine neue Funktion h(x) -> $\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{3x+8}{3} \end{eqnarray*}$

Erinnern wir uns an mein Zitat aus Wiki:

Zitat:

Allgemeiner wird als Fixpunkt in der Mathematik ein Punkt x bezeichnet, der die Gleichung f(x) = x erfüllt.

Also muss gelten f(x)=h(x). Das schaut dann wie aus?

22.08.2011, 19:01

Alina123

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Ich komm da einfach nicht weiter...
Wenn $\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{3x+8}{3} \end{eqnarray*}$
und f(x)=h(x)
, so ist ja $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3x+8}{3} \end{eqnarray*}$
..dennoch machts nicht klick bei mir.
Was brauch ich da für ein mathematisches Konzept um zur Lösung zu kommen?

22.08.2011, 19:17

Equester

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Das ist schnell erklärt Big Laugh

Du ersetzt nur h(x) durch dein Wissen -> $\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{3x+8}{3} \end{eqnarray*}$
Aber du kennst doch auch f(x)=x!!!

Also f(x)=h(x)
-> $\begin{eqnarray*} x=\frac{3x+8}{3} \end{eqnarray*}$

22.08.2011, 19:26

Alina123

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da kommt false raus, also gibt es zu dieser linearen Gleichung keinen Fixpunkt?

22.08.2011, 19:30

Equester

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Yup genau

Die Steigung ist doch die Gleiche -> (3x)/3=x

Damit haben wir eine Parallele -> Es lässt sich kein Fixpunkt finden.

22.08.2011, 19:31

Alina123

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Ärgerlich, ich hatte das Ergebnis die ganze Zeit am Zettel stehen, kam aber nicht auf die Idee, dass es sich um eine Parallele handelt.

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe sowie Geduld.

22.08.2011, 19:38

Equester

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Haha, manchmal fällt sowas einem erst nach einem Schubser auf.

Gerne Wink

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