Grenzwert bestimmen

22.08.2011, 20:24

geomath

Grenzwert bestimmen

Hallo an alle,

ich habe einen Grenzwert zu bestimmen und dabei ist ein Problem aufgetaucht.

Die Folge ist gegeben als:
$\begin{eqnarray*} n^2[(1+\frac{3}{n} )^5-(1+\frac{5}{n} )^3] \end{eqnarray*}$
Ich habe mal meinen Taschenrechner gefragt, und der meinte, für $\begin{eqnarray*} n\Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ kommt 15 raus. Das wollte ich dann ausrechnen, aber folgendes passiert in meiner Rechnung:

$\begin{eqnarray*} n^2[(1+\frac{3}{n} )^5-(1+\frac{5}{n} )^3] \end{eqnarray*}$ das ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} n^2[((1+\frac{3}{n} )^n)^{\frac{5}{n} }-(1+\frac{5}{n} )^n)^{\frac{3}{n} }] \end{eqnarray*}$ das ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} n^2[(e^3)^{\frac{5}{n} }-(e^5)^{\frac{3}{n} }] \end{eqnarray*}$ . Ich dachte, das geht so, aber der letzte Ausdruck hat für $\begin{eqnarray*} n\Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ den Wert 0, denn dieser Ausdruck ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} n^2[e^{15*n}-e^{15*n}]=n^2*[0]=0 \end{eqnarray*}$ .

Wo ist denn jetzt mein Fehler? Offenbar ist die Umformung zum e^irgendwas falsch, aber warum? Ich war der Meinung, dass das der gängige Trick ist..

Grüße geomath

22.08.2011, 20:48

HAL 9000

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Da ist gleich eine ganze Häufung von falsch angewandten Umformungsregeln zu beobachten, da weiß man gar nicht, wo man anfangen soll... Vielleicht bei der letzten Zeile:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_nb_n = \lim_{n\to\infty} a_n \cdot \lim_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$

ist nur anwendbar, wenn beide Grenzwerte rechts existieren (d.h. insbesondere endlich sind). Das ist bei dir mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} n^2 = \infty \end{eqnarray*}$ nicht der Fall. Da nützt dir auch das durchaus richtige

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left[ \left(1+\frac{3}{n} \right)^5-\left(1+\frac{5}{n} \right)^3\right] = 0 \end{eqnarray*}$

überhaupt nichts.

Die eingeführten e-Grenzwerte - so toll sie auch aussehen mögen - sind hier ebenfalls nicht zu gebrauchen. Multipliziere lieber die beiden Potenzen gemäß Binomischen Satz aus, das führt zum Erfolg.

22.08.2011, 21:14

geomath

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Hey,

Danke für deine Hilfe... Die letzte Zeile ist natürlich Schwachsinn, dass sehe ich auch Augenzwinkern

Aber von der 1. Zeile zur 2. Zeile ist doch noch kein Fehler drin, richtig? Jedenfalls stimmt in der 2. Zeile der Grenzwert auch noch.

In der dritten Zeile stimmt der Grenzwert nicht mehr, warum darf ich nicht die geklammerten Terme mit e^bla ersetzen?

Ich habe mal mit dem binomischen Satz weitergemacht und siehe da:

$\begin{eqnarray*} n^2[(1+\frac{3}{n} )^5-(1+\frac{5}{n} )^3]=<br /> n^2[(\frac{243}{n^5} +\frac{405}{n^4} +\frac{270}{n^3}+\frac{90}{n^2} +\frac{15}{n}+1 )-(\frac{125}{n^3}+\frac{75}{n^2}+\frac{15}{n}+1 )]=<br /> \frac{243}{n^3}+\frac{405}{n^2}+\frac{145}{n}+15 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{243}{n^3}+\frac{405}{n^2}+\frac{145}{n}+15=15 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Hilfe, und ich hoffe, du kannst mir meine Frage bezüglich der e-Umformung beantworten.

Beste Grüße
geomath

22.08.2011, 21:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von geomath
In der dritten Zeile stimmt der Grenzwert nicht mehr, warum darf ich nicht die geklammerten Terme mit e^bla ersetzen?

Darfst du doch auch. Aber wie gesagt,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left[ \left( \left(1+\frac{3}{n} \right)^n \right)^{\frac{5}{n} } - \left( \left(1+\frac{5}{n} \right)^n\right)^{\frac{3}{n}}\right] = \lim_{n\to\infty} \left[ \left(e^3\right)^{\frac{5}{n} }-\left(e^5\right)^{\frac{3}{n} }\right] = 0 \end{eqnarray*}$
ist richtig, aber nützt dir nix.

P.S.: Ich hab das wohlgemerkt sorgsam als Grenzwert aufgeschrieben. Dein saloppes "ist äquivalent zu..." ist nämlich nicht haltbar, und führt wie man hier sieht ziemlich in die Irre.

23.08.2011, 08:08

geomath

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Ah,

ok, das hat jetzt nochmal Licht ins Dunkel gebracht. Vielen Dank für den Ansatz bzw. die Überlegungen zu den Umformungen... werde die Schreibweise in Zukunft präziser machen und vorher über Grenzwertsätze nachdenken.

Grüße geomath

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