Partialbruchzerlegung. Komme nach Ausmultiplizieren nicht mehr weiter

22.08.2011, 21:38	stud3nt	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung. Komme nach Ausmultiplizieren nicht mehr weiter Hallo, muss folgendes Integral berechen: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{x^{3} + x^{2} -2x } \ \end{eqnarray}$ Nun habe ich erkannt, dass ich dies mit Partialbruchzerlegung machen kann, da hier ein Bruch steht. Danach habe ich die Nullstellen im Nenner bestimmt: 1, 0, -2. Nur einfache Nullstellen. Dann komme ich nach Formelsammluing auf folgenden Term: $\begin{eqnarray} \frac{A}{x - 1} \ + \frac{B}{x + 2} \ + \frac{C}{x} \ \end{eqnarray}$ Wenn ich das ganze nun - auf den Hauptnenner bringe - nach A, B, C ausmultipliziere - und danach x ausklammere komme ich auf folgenden Term: $\begin{eqnarray} \frac{x^2(A + B + C) + x(2A-2B+C)+(A+B-2C)}{(x - 1)(x+2)x} \ \end{eqnarray}$ Was ist nun der nächste Schritt?
22.08.2011, 21:56	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Der nächste Schritt ist nun der Koeffizientenvergleich! Du musst also den Faktor vor dem x² nach deiner Zerlegung vergleichen mit demjenigen Faktor x² in deinem Ausgangsbruch. Da der Faktor vor dem x² 0 ist bei deinem Integranden, muss auch die ganze Klammer (A+B+C)=0 sein. Das führst du so fort ... und dann am Ende muss natürlich (A+B-2C)=1 sein, damit deine Partialbruchzerlegung auch wirklich eine Äquivalenzumformung ist! z.B.: $\begin{eqnarray} \frac{x}{x^2-1}\,=\,\frac{x}{(x-1)(x+1)}\,=\,\frac{A}{x-1}\,+\,\frac{B}{x+1}\,=\,\frac{Ax+A+Bx-B}{(x-1)(x+1)}\,=\,\frac{x(A+B)+(A-B)}{(x^2-1} \end{eqnarray}$ Nun der Vergleich: Der Faktor vor dem x ist im Ausgangsterm ja 1, denn 1*x, also gilt: (I) A+B=1 Dann muss natürlich noch gelten: (II) A-B=0 Du hast 2 Gleichungen und kannst nun A und B bestimmen: A=B=1/2 ich hoffe es ist nun etwas klarer. Gruß Johnsen

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