Richtungsableitungen

19.12.2006, 23:49

chris85

Richtungsableitungen

Hallo,ich habe eine Aufgabe wo ich die Richtungsableitungen bestimmen soll.
Komm aber nicht so richtig klar damit,kann mir jemand dabei helfen?

$\begin{eqnarray*} \lambda (x,y,z)=x²+y+xz \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} (1,2,-1) \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{a} = (2,-2,1) \end{eqnarray*}$

...das hab ich bisher:

\vec{x} =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + r* \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2r \\ 2-2r \\ -1+r \end{pmatrix}

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Richtungsableitung

Das ist ja die Definition:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{(x+t*a)-f(x)} {t} \end{eqnarray*}$

Aber weiter komm ich nicht,ich kann das einach nicht richtig anwenden, bzw. ausrechnen. Kann mir das jemand zeigen?

20.12.2006, 00:07

sqrt(2)

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Du musst ja eigentlich nur einsetzen

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to0}\frac{\lambda(1+2t,2-2t,-1+t)-\lambda(1,2,-1)}{t} \end{eqnarray*}$

ist gesucht. (Da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ total differenzierbar ist, wäre es über $\begin{eqnarray*} (\operatorname{grad}\lambda\cdot\vec{a})(1,2,1) \end{eqnarray*}$ vermutlich schneller.)

20.12.2006, 00:16

chris85

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Genau da steck ich jetzt schon ewig! Wie sieht das ausgeschreiben aus? Das krieg ich jetzt eben nicht hin! Kannst du mir das mal schnell zeigen?

...wie geht das mit deiner Variante?

20.12.2006, 18:18

yeti777

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RE: Richtungsableitungen
Hallo chris85!

Zitat:

Original von chris85
$\begin{eqnarray*} \lambda (x,y,z)=x²+y+xz \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x_0}= (1,2,-1) \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{a} = (2,-2,1) \end{eqnarray*}$

...das hab ich bisher:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\vec{x_0}+t\vec{a}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2t \\ 2-2t \\ -1+t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Richtungsableitung

Das ist ja die Definition:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{\lambda(\vec{x_0}+t*\vec{a})-\lambda(\vec{x_0})} {t} \end{eqnarray*}$ .

Ich mache das zweimal. Einmal mit der Definition der Richtungsableitung und einmal mit dem Gradienten, wie es sqrt(2) vorgeschlagen hat. Der Einfachheit halber setze ich $\begin{eqnarray*} f:=\lambda \end{eqnarray*}$ . Ich muss dann nicht so viel tippen Augenzwinkern

.

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(\vec{x_0}+t*\vec{a})-f(\vec{x_0})} {t}= \lim_{t \to 0} \frac{6t^2+t}{t}= 1 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} f=\lambda \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom in $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ und deshalb (total) differenzierbar (Satz!).

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (\vec{x_0})= f'(\vec{x_0})\vec{a}= grad f(\vec{x_0})\vec{a}= (1,1,1)\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$

Gruss yeti

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