Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten

23.08.2011, 09:43

jema

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Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten

Hallo Ihr Lieben,

ich sitze nun schon enige Zeit an einem Beweis und bekomme es einfach nicht hin. Grob gesagt, möchte ich beweisen, dass, wenn das Maximum einer Funktion an einer bestimmten Stelle liegt, es bei einer anderen Funktion an einer anderen bestimmten Stelle liegt.

Ich habe zwei additive Funktionen

U(x)=u(x)+g(M-x-a)
V(x)=u(x)+g(M-x-b)

es gilt
$\begin{eqnarray*} u(x)'\geq0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x)''<0 \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} g(x)'\leq0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)''>0 \end{eqnarray*}$

sowie
$\begin{eqnarray*} M/2>b>M/4>a \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun zeigen, dass ein Optimum von U(x) bei x*=0.65*M/2+0.35*(M-a) für das Optimum von V(x) x*<2/3*b+1/3*(M-b) impliziert, also

$\begin{eqnarray*} (u'(0.65*M/2+0.35*(M-a))=-g'(M-0.65*M/2-0.35*(M-a)-a)<br /> \Rightarrow u'(2/3*b+1/3*(M-b))<-g'(M-2/3*b-1/3*(M-b)-b) \end{eqnarray*}$

Gleichzeitig soll umgekehrt gelten: ein Optimum von V(x) bei x*=2/3*b+1/3*(M-b)impliziert für U(x) x*>0.65*M/2+0.35*(M-a), also

$\begin{eqnarray*} u'(2/3*b+1/3*(M-b))=-g'(M-2/3*b-1/3*(M-b)-b) <br /> \Rightarrow u'(0.65*M/2+0.35*(M-a))>-g'(M-0.65*M/2-0.35*(M-a)-a) \end{eqnarray*}$
Dies folgt ja eigentlich schon aus dem ersten Beweis, da das Optimum von U(x) im Koordinatensystem weiter rechts liegt als das Optimum von V(x).

Ich muss also erstmal das Erste beweisen. Ich kann zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (u'(0.65*M/2+0.35*(M-a))< u'(2/3*b+1/3*(M-b)) \end{eqnarray*}$
und das gilt auch für die Ableitungen von g(x)
$\begin{eqnarray*} -g'(M-0.65*M/2-0.35*(M-a)-a)<-g'(M-2/3*b-1/3*(M-b)-b) \end{eqnarray*}$

Das heißt, durch die Verschiebung der Funktion g(M-x-b) im Koordinatensystem nach links, verschiebt sich natürlich das Optimum von V(x) nach links. Diese Verschiebung ist aber geringer, als die Differenz zwischen a und b. Wie kann ich aber nun zeigen, dass die Verschiebung immer noch ausreichend ist für die gewünschte Implikation?

Graphisch kann ich sehr schön sehen, dass das so sein muss und auch die Logik des zugrundeliegenden Problems spricht dafür. Ich kriegs aber leider nicht hin, dass zu beweisen. Vielleicht ist es auch nur Zufall, dass es graphisch so schön passt. Ich habe einfach irgendwelche entsprechenden, konkaven Funktionen benutzt.
Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße und danke schon im Voraus.

23.08.2011, 13:03

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Was mir hier persönlich erst mal fehlt ist: Was wissen wir über u,g, U, V. Du leitest einfach 2mal ab. Können wir also von (mind.) C² ausgehen? Ist M positiv? Und von wo nach wo wird hier abgebildet?

$\begin{eqnarray*} U(x)=u(x)+g(M-x-a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(x)=u(x)+g(M-x-b) \end{eqnarray*}$

Also besteht der Unterschied im Grunde darin, wie die Funktion g "verschoben" wird.

$\begin{eqnarray*} u(x)'\geq0,~u(x)''<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)'\geq0,~g(x)''<0 \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und...erste_Ableitung

Woher stammen die Ableitungsbedingungen? Oder war konvex, konkav vorgegeben? Sind u,g konkret angegeben?

23.08.2011, 14:26

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
hallo tigerbine,

es gibt keine konkreten Vorgaben für die Funktionen. Es gibt lediglich folgende Annahmen:

u(x) ist konkav, zweimal differenzierbar, mit positivem aber abnehmendem Grenzwert
g(x) ist konkav, zweimal differenzierbar, mit negativem aber abnehmendem Grenzwert

Damit gilt:
$\begin{eqnarray*} u(x)'\geq0, u(x)''<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(M-x)'\leq0, u(x)''<0 \end{eqnarray*}$ (hier hatte ich mich vorhin vertippt, die Funktion ist auch konkav und nicht konvex)

die beiden Funktionen sind in U(x) und V(x) additiv miteinander verknüpft

a und b sind konstante Werte die im Prinzip bestimmend dafür sind, an welcher Stelle die Funktion g(x) die x-Achse schneidet.
Es ist also so, dass die Funktion g(M-x-b) die nach links verschobene Funktion g(M-x-b) darstellt.

M ist ein konstanter, positiver Wert
Ich kann sozusagen M Einheiten auf die beiden Funktionen u(x) und g(x) aufteilen. Dabei sollen die Funktionen U(x) und V(x) optimiert werden.

Ich möchte nun beweisen, dass, wenn das Optimum von U(x) an einer bestimmten Stelle liegt, das Optimum von V(x) immer kleiner ist als ein bestimmter Wert x*. Umgekehrt gilt dann, dass ein Optimum von V(x) bei genau dem Wert x* ein höheres optimales x für U(x) impliziert.

Ich hoffe, ich konnte das einigermaßen verständlich erklären und du kannst mir weiterhelfen.

Liebe Grüße

23.08.2011, 15:19

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Muss zugeben, dass ich momentan mit anderen Dingen beschäftigt bin, und so schnell nicht in deine Gedanken finde.

Zitat:

Graphisch kann ich sehr schön sehen, dass das so sein muss und auch die Logik des zugrundeliegenden Problems spricht dafür. Ich kriegs aber leider nicht hin, dass zu beweisen. Vielleicht ist es auch nur Zufall, dass es graphisch so schön passt. Ich habe einfach irgendwelche entsprechenden, konkaven Funktionen benutzt. Kann mir jemand helfen?

Kannst du das hier mit dem Plotter

mal malen, dann kommen wir vielleicht schneller dahinter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.08.2011, 11:14

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
ich habe es mal mit beliebigen Zahlenwerten für die Funktionen gezeichnet.
Im ersten Bild sieht man, dass das Maximum von U(x) (lila) bei ca. x=5.5 liegt. Das Maximum von V(x) (hellblau) liegt bei x<3.7.

Ist die Funktion g(x) nun so, dass das Maximum von V(x) bei genau x=3.7 liegt, impliziert das für das Maximum von U(x) x>5.5.

Wenn das obere immer wahr ist, stimmt ja auch das untere. Ich muss also das obere beweisen.

Geht das überhaupt irgendwie?

24.08.2011, 11:30

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten

Zitat:

ch habe es mal mit beliebigen Zahlenwerten für die Funktionen gezeichnet.

Also ist noch mehr bekannt als nur konkav?

$\begin{eqnarray*} U(x)=2\sqrt{x} + \sqrt{1.2\cdot(7.5-x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(x)=2\sqrt{x} + \sqrt{1.2\cdot(4.5-x)} \end{eqnarray*}$

Also hier dann

$\begin{eqnarray*} u(x)=2\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Was ist M, was ist a, was b und wie sieht g aus? Wink

Wink

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24.08.2011, 11:56

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
das ist alles eigentlich nicht bekannt. ich habe lediglich irgendwelche Funktionen genommen, die den Kriterien für u(x) und g(x) entsprechen.
Ich versuche mal, das Problem ganz konkret zu beschreiben:
Ein Entscheider hat M Geldeinheiten zur Verfügung.
Er hat eine Reihe von Entscheidungen über die Aufteilung von M für sich und jemand anders zu treffen.
Geld für sich selbst ist gut für ihn. Das ist u(x).
Geld abzugeben ist auch gut, aber absolut gesehen weniger gut, als es selbst zu behalten. Außerdem ist eine Geldabgabe erst über eine Abgabe von a bzw. b hinaus nützlich. Das ist g(M-x-a) bzw. g(M-x-b)
Es gibt eine bestimmte optimale Verteilung von M, die die Funktionen u(x)+g(x) maximiert.
Ein Teil A der Entscheidungen besteht in der Auswahl zwischen M-a Geldeinheiten für sich selbst oder M/2 Geldeinheiten für sich selbst. Das ist U(x).
Ein anderer Teil B besteht in der Auswahl zwischen b Geldeinheiten für sich selbst oder M-b Geldeinheiten für sich selbst. Das ist V(x).
Der Entscheider wird anhand seiner durchschnittlichen Verteilung z.B. als nett oder egoistisch klassifiziert. Eine Klassifizierung als nett erfordert signifikant mehr Entscheidungen für M/2 bzw. b Geldeinheiten für sich selbst. Daraus ergibt sich, dass die Funktionen U(x) und V(x) ihr Maximum an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x\leq0.65*M/2+0.35+(M-a) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\leq2/3*b+1/3+(M-b) \end{eqnarray*}$ haben müssen.
Es soll nun gezeigt werden, dass ein Entscheider, welcher im Teil A der Entscheidungen als nett klassifiziert wird, immer auch in Teil B als nett klassifiziert wird. Wer also in Teil A gerade noch so nett ist, ist es auch in Teil B. Umgekehrt soll das aber nicht gelten. Wer also in Teil B gerade noch so nett ist, soll es in Teil A nicht mehr sein.

Über die Funktionen u(x) bzw g(x) ist nicht weiter bekannt, als dass sie konkav und zweimal differenzierbar sind, u(x) mit x steigt und g(x) mit M-x steigt, also mit x fällt.

Kannst du damit etwas anfangen?

24.08.2011, 12:29

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Sorry wenn ich mich da was schwerfällig anstelle.

Zitat:

Ein Entscheider hat M Geldeinheiten zur Verfügung.

Ok.

Zitat:

Er hat eine Reihe von Entscheidungen über die Aufteilung von M für sich und jemand anders zu treffen.
Geld für sich selbst ist gut für ihn. Das ist u(x).

Da frage ich mich: Was ist x? Der Anteil von M, den er für sich nimmt? u bewertet diesen Nutzen? => $\begin{eqnarray*} x \in [0, M] \end{eqnarray*}$

Zitat:

Geld abzugeben ist auch gut, aber absolut gesehen weniger gut, als es selbst zu behalten.

Was heißt absolut gesehen? Warum liegt das Optimum dann nicht bei x=M?

Zitat:

Außerdem ist eine Geldabgabe erst über eine Abgabe von a bzw. b hinaus nützlich. Das ist g(M-x-a) bzw. g(M-x-b)

Da komme ich nicht mit. Er muss die M Einheiten ausgeben. x für sich, M-x für andere. Wie äußert sich das nützlich, wenn wir doch nur konkav wissen? Ist g für M-x<a negativ?

Zitat:

u(x) ist konkav, zweimal differenzierbar, mit positivem aber abnehmendem Grenzwert
g(x) ist konkav, zweimal differenzierbar, mit negativem aber abnehmendem Grenzwert

Was ist denn ein abnehmender Grenzwert... verwirrt

verwirrt

Also entweder es gibt einen Grenzwert oder nicht... verwirrt

verwirrt

24.08.2011, 12:56

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Ich erkläre es auch gerne hundertmal, wenn wir dadurch weiterkommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Da frage ich mich: Was ist x? Der Anteil von M, den er für sich nimmt? u bewertet diesen Nutzen? => $\begin{eqnarray*} x \in [0, M] \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Was heißt absolut gesehen? Warum liegt das Optimum dann nicht bei x=M?

Der Entscheider optimiert ja über U(x) bzw. V(x) und hier gibt es ein Optimum, das nicht unbedingt bei x=M liegt. Dies ist nur dann der Fall, wenn der Anstieg von g(x) im Verhältnis zum Anstieg von u(x) sehr flach ist. Andernfalls kommt der Enttscheider irgendwann an einen Punkt, wo eine weitere Einheit x weniger zusätzlichen Nutzen bringt, als eine erste Einheit M-x. Es gilt an diesem Punkt also
$\begin{eqnarray*} u'(x)<-g'(1) \end{eqnarray*}$
Die Funktion g(x) verläuft aber insgesamt flacher als u(x).

Zitat:

Da komme ich nicht mit. Er muss die M Einheiten ausgeben. x für sich, M-x für andere. Wie äußert sich das nützlich, wenn wir doch nur konkav wissen? Ist g für M-x<a negativ?

Er muss die M Einheiten komplett ausgeben. Für Abgaben kleiner als a bzw. b ist g gleich Null und U(x)=u(x).

Zitat:

Was ist denn ein abnehmender Grenzwert... verwirrt Also entweder es gibt einen Grenzwert oder nicht...

Der Grenznutzen von u(x) ist für jeden Wert von x positiv. Je größer x wird, desto kleiner wird jedoch der Grenznutzen. Jede zusätzliche Einheit ist also weniger nützlich als die vorherige. Das Gleiche gilt für die Abgabe.

24.08.2011, 13:10

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Grenznutzen ist ja was anderes als Grenzwert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Er muss die M Einheiten komplett ausgeben. Für Abgaben kleiner als a bzw. b ist g gleich Null und U(x)=u(x).

Dann ist die Funktion aber nicht C² auf ganz IR. Sondern wahrscheinlich nur auf $\begin{eqnarray*} [0,M-a] \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Ich möchte nun zeigen, dass ein Optimum von U(x) bei x*=0.65*M/2+0.35*(M-a) für das Optimum von V(x) x*<2/3*b+1/3*(M-b) impliziert, also

Du setzt also voraus, dass das Optimum da liegt? Warum auch immer. Sehe ich das richtig?

24.08.2011, 13:33

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten

Zitat:

Dann ist die Funktion aber nicht C² auf ganz IR. Sondern wahrscheinlich nur auf $\begin{eqnarray*} [0,M-a] \end{eqnarray*}$ ?

Ja. Das wird ja durch -a bzw. -b in der Funktion g(x) erreicht. a und b bestimmen ja, wo g(x) die x-Achse trifft.

Zitat:

Du setzt also voraus, dass das Optimum da liegt? Warum auch immer. Sehe ich das richtig?

Wo genau das Maximum liegt, wird ja durch dien Anstiege von g(x) und u(x) bestimmt.

Wenn der Anstieg nun so ist, dass das Optimum von U(x) bei x=0.65*M/2+0.35*(M-a) liegt, also
$\begin{eqnarray*} u'(0.65*M/2+0.35*(M-a))=-g'(M-(0.65*M/2+0.35*(M-a))-a) \end{eqnarray*}$
dann ist das Optimum von V(x) links von x=2/3*b+1/3*(M-b), also
$\begin{eqnarray*} u'(2/3*b+1/3*(M-b))<-g'(M-(2/3*b+1/3*(M-b))-b) \end{eqnarray*}$

Wenn aber der Anstieg so ist, dass das Optimum von V(x) genau bei x=2/3*b+1/3*(M-b) liegt, also
$\begin{eqnarray*} u'(2/3*b+1/3*(M-b))=-g'(M-(2/3*b+1/3*(M-b))-b) \end{eqnarray*}$

Es geht nur um diese beiden Möglichkeiten für die Anstiege. Alle anderen möglichen Optima interessieren mich nicht.
dann bedeutet das, dass das Optimum von U(x) rechts von x=0.65*M/2+0.35*(M-a) liegt, also
$\begin{eqnarray*} u'(0.65*M/2+0.35*(M-a))>-g'(M-(0.65*M/2+0.35*(M-a))-a) \end{eqnarray*}$

24.08.2011, 15:43

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Ich weiß schon, was ein Optimum ist. Bislang liegen die Funktionen für eine konkrete Angabe von x* aber doch ziemlich im Neben. Daher setzt du doch voraus

Zitat:

Wenn der Anstieg nun so ist, dass das Optimum von U(x) bei x*=0.65*M/2+0.35*(M-a) liegt,

das meinte ich. Ferner kann man unter der Voraussetzung, es liegt ein Optimum vor, sagen:

$\begin{eqnarray*} U'(x^*)=0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet dann wegen

$\begin{eqnarray*} U(x)=u(x)+g(M-x-a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(x)=u'(x)+g'(M-x-a)\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ => hast du nicht nachdifferenziert?

eben

$\begin{eqnarray*} u'(x^*)=g'(M-x^*-a) \end{eqnarray*}$

Mit der Funktion

$\begin{eqnarray*} V(x)=u(x)+g(M-x-b) \end{eqnarray*}$

stellt sich mir die Frage, wie a und b zusammenhängen. Denn da die Bauart gleich ist, betrachtet man im Grunde doch eine Kurvenschar und fragt sich in Abhängigkeit von a, wo das Maximum liegt. Dann kann man sich fragen, wie der geometrische Ort der Maxima aussieht.

Ohne eine Beziehung a=b, a<b, a>b bin ich erst mal der Meinung, dass du deine Behauptung nicht beweisen kannst.

edit:
$\begin{eqnarray*} M>0, a < \frac{1}{4}M <b <\frac{1}{2}M \end{eqnarray*}$

Interessant ist also zunächst das Verhalten für b=0.25M und b=0.5M u

Völlig unklar ist deine Konkrete Wahl von x* für den aussentehenden Betrachter. Man kennt die Funktionen nicht, aber das Maximum?

=============================================================

Zitat:

u(x) ist konkav, zweimal differenzierbar, mit positivem aber abnehmendem Grenznutzen
g(x) ist konkav, zweimal differenzierbar, mit negativem aber abnehmendem Grenznutzen

Übersetze das bitte mal in Funktionseigenschaften. Grenznutzen ist imho die erste Ableitung. Wie soll die sich verhalten?
$\begin{eqnarray*} u''(x)\le 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u'(x)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u'(x_1)>u'(x_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} g''(x)\le 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g'(x)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x_1)>g'(x_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$

Beispiel:

Meinst du das so?

24.08.2011, 17:13

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten

Zitat:

Das bedeutet dann wegen $\begin{eqnarray*} U(x)=u(x)+g(M-x-a) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U'(x)=u'(x)+g'(M-x-a)\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ => hast du nicht nachdifferenziert?

g'(M-x) ist ja schon negativ und enthält ja schon die -1
darum
$\begin{eqnarray*} u'(x)=-g'(M-x-a) \end{eqnarray*}$
geht ja auch garnicht anders, da u'(x) positiv ist und g'(M-x) negativ. Wenn die einfach nur gleich sein müssten, wäre das ja nie möglich.

Zitat:

Ohne eine Beziehung a=b, a<b, a>b bin ich erst mal der Meinung, dass du deine Behauptung nicht beweisen kannst.

Es gilt a<1/4*M<b<1/2*M
hilft das schon weiter?

Zitat:

Völlig unklar ist deine Konkrete Wahl von x* für den aussentehenden Betrachter. Man kennt die Funktionen nicht, aber das Maximum?

Das sind die Punkte, an denen der Entscheider gerade noch so als nett klassifiziert wird. Ich setze die also voraus.

Die Funktionseigenschaften sind genau so, wie du es beschreibst.
$\begin{eqnarray*} u(x)'\geq0, u(x)''<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(M-x)'\leq0, g(x)''<0 \end{eqnarray*}$

24.08.2011, 18:33

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten

Zitat:

g'(M-x) ist ja schon negativ und enthält ja schon die -1

Diese Regel verstehe ich nicht. In der Funktion steht +g(M-x-a). Und die Ableitungsregeln richten sich doch nicht nach dem späteren Wert der Ableitung. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Das sind die Punkte, an denen der Entscheider gerade noch so als nett klassifiziert wird. Ich setze die also voraus.

Was bedeutet der Wert $\begin{eqnarray*} \hat x \end{eqnarray*}$ nun?

$\begin{eqnarray*} \hat x&&=0.65\cdot \frac{1}{2}M+0.35 \cdot (M-a) <br /> &&= 0.325M + 0.35M - 0.35a <br /> &&= 0.675M-0.35a \end{eqnarray*}$

Wenn für den Optimalwert gilt: $\begin{eqnarray*} \hat x <x^* \end{eqnarray*}$ , dann ist der nicht nett, weil er viel für sich nimmt?

Und nun nimmst du an, dass für den Optimalwert von U gilt: $\begin{eqnarray*} x^*=\hat x \end{eqnarray*}$ Und fragst dich, ob du daraus was über den Optimalwert von V sagen kannst?

24.08.2011, 19:43

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
für das optimum von U bzw. V muss jedenfalls gelten, dass die Ableitungen von g und u an dieser Stelle identisch sind. Die Ableitung von g ist negativ, also können die nur identisch sein, wenn u'=-g'.

Zitat:

Und nun nimmst du an, dass für den Optimalwert von U gilt: $\begin{eqnarray*} x^*=\hat x \end{eqnarray*}$ Und fragst dich, ob du daraus was über den Optimalwert von V sagen kannst?

Genau.
Geht das?

24.08.2011, 19:59

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Nochmal zurück. Egal ob nun g'(x)<0 gilt. Das spielt doch für die Berechnung der Ableitung keine Rolle. Welcher Schritt erscheint dir hier inkorrekt? Das ist ja nur mal notwendige Bedingung und Kettenregel angewendet.

$\begin{eqnarray*} U(x)=u(x)+g(M-x-a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(x)=u'(x)+g'(M-x-a)\cdot (-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(x^*)=0 \Leftrightarrow u'(x^*)=g'(M-x^*-a) \end{eqnarray*}$

24.08.2011, 21:50

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
M-x-a ist doch lediglich der Wert, für den die Funktionsvorschrift g angewendet wird. Wenn die Funktion beispielsweise ln(M-x-a) lautet, ist die erste Ableitung -1/(M-x-a).
Für die Optimalitätsbedingung für U(x) gilt dann u'(x)-1/(M-x-a)=0 und somit u'(x)=1/(M-x-a). 1/(M-x-a) ist aber nicht g'(x) sondern -g'(x). Es gilt also u'(x)=-g'(x).

24.08.2011, 22:03

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten

Zitat:

Original von jema
M-x-a ist doch lediglich der Wert, für den die Funktionsvorschrift g angewendet wird. Wenn die Funktion beispielsweise ln(M-x-a) lautet, ist die erste Ableitung -1/(M-x-a).
Für die Optimalitätsbedingung für U(x) gilt dann u'(x)-1/(M-x-a)=0 und somit u'(x)=1/(M-x-a).

Bis dahin gehen wir d'accord (hinter dem lediglich steht dennoch die Kettenregel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Jedoch lässt du unklar, was "die Funktion ist. Bei mir ist das g, denn

$\begin{eqnarray*} U(x)=u(x)+g(M-x-a) \end{eqnarray*}$ (*)

Zitat:

1/(M-x-a) ist aber nicht g'(x) sondern -g'(x). Es gilt also u'(x)=-g'(x).

Und da steige ich aus. Wir haben ja nicht g(x), sondern g(M-x-a). [Das muss ich in meinem "Grenzratenpost" auch noch abändern]. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und das ist ein kleiner aber feiner Unterschied.

25.08.2011, 08:55

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
fest steht, dass im Optimum u'(x)=-g'(x) gelten muss, weil g'(x) negativ ist und u'(x) positiv. Andernsfalls kann es kein Optimum geben.
g'(x) ist die gesamte erste Ableitung von g, also innere*äußere Ableitung. Da hierfür gilt g'(x)<0 ist die innere Ableitung von -1 schon impliziert.
Wenn du schreibst, dass
$\begin{eqnarray*} u'(x)=g'(M-x-a) \end{eqnarray*}$
dann ist g'(M-x-a) die äußere Ableitung, also nicht die die gesamte Ableitung nach x, sondern im Prinzip nach (M-x-a). Das ändert in meinem Problem aber nichts an der endgültigen Lösung, denn (sorry, ich weiß nicht, wie ich das Symbol für die partielle Ableitung hinkriege = del)
$\begin{eqnarray*} delg(M-x-a)/del(M-x-a)=(-1)*delg(M-x-a)/delx \end{eqnarray*}$
weil die innere Ableitung lediglich -1 ist.
Ich kann g' nur einmal definieren und nicht einmal als gesamte und einmal als äußere Ableitung. Wenn ich also beispielsweise sage, dass g(x) = ln(M-x-a) ist, dann definiere ich g'(x)=-1/(M-x-a). Wenn ich aber dann die Anwendung der Kettenregel nochmal explizit aufschreibe und u'(x)=g'(M-x-a) erhalte, dann ist g' plötzlich definiert als g'=1/(M-x-a). Das kann ich einfach nicht machen. Letzlich kommen wir aber beide zum selben Ergebnis.

Aber die eigentliche Frage ist ja, ob ich vom Optimum von U(x) generell etwas über das Optimum von V(x) ableiten kann. Das ist ja grundsätzlich erstmal unabhängig davon, wie das Optimum definiert ist. Meinst du, das geht überhaupt?

25.08.2011, 10:10

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Wenn ich mal alle durchschnittlichen Werte bestimme und in die Funktionen einsetze, kann ich dass ganze Problem auf die Folgenden Relationen runterbrechen:

$\begin{eqnarray*} u'(9.58)=-g'(3.86)<br /> \Rightarrow u'(7.46)<-g'(0.18) \end{eqnarray*}$

und umgekehrt soll dann gelten:

$\begin{eqnarray*} u'(7.46)=-g'(0.18) <br /> \Rightarrow u'(9.58)>-g'(3.86) \end{eqnarray*}$

Wenn außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} u'(x)\geq0, u''(x)<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)\leq0, g''(x)<0 \end{eqnarray*}$

scheint es durchaus logisch, dass u'(x) bei einer Änderung von x=9.58 auf x=7.46 weniger stark steigt als -g'(x) bei einer Änderung von x=3.86 auf x=0.18. Dann wären beide Implikationen wahr. Das ist aber leider noch kein Beweis.
Die Frage ist, ob ein Beweis an dieser Stelle überhaupt möglich ist. Möglicherweise gibt es Funktionen für die das stimmt und andere, für die es genau umgekehrt ist, oder?

25.08.2011, 11:10

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Sorry, jetzt muss es natürlich

$\begin{eqnarray*} u'(9.58)=g'(3.86)<br /> \Rightarrow u'(7.46)<g'(0.18) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} u'(7.46)=g'(0.18) <br /> \Rightarrow u'(9.58)>g'(3.86) \end{eqnarray*}$

heißen, weil g zwar mit steigendem x fällt, aber damit mit steigendem (M-x) steigt und die Werte schon ausgerechnet sind. Da habe ich mich wohl selbst überlistet Hammer

Hammer

Das war wohl auch der Punkt, an dem wir aneinander vorbei geredet haben. Ich kann einfach schlecht erklären Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.08.2011, 12:46

tigerbine

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten

Zitat:

fest steht, dass im Optimum u'(x)=-g'(x) gelten muss, weil g'(x) negativ ist und u'(x) positiv. Andernsfalls kann es kein Optimum geben.
g'(x) ist die gesamte erste Ableitung von g, also innere*äußere Ableitung. Da hierfür gilt g'(x)<0 ist die innere Ableitung von -1 schon impliziert.
Wenn du schreibst, dass
$\begin{eqnarray*} u'(x)=g'(M-x-a) \end{eqnarray*}$
dann ist g'(M-x-a) die äußere Ableitung, also nicht die die gesamte Ableitung nach x, sondern im Prinzip nach (M-x-a). Das ändert in meinem Problem aber nichts an der endgültigen Lösung, denn (sorry, ich weiß nicht, wie ich das Symbol für die partielle Ableitung hinkriege = del)
$\begin{eqnarray*} delg(M-x-a)/del(M-x-a)=(-1)*delg(M-x-a)/delx \end{eqnarray*}$
weil die innere Ableitung lediglich -1 ist.
Ich kann g' nur einmal definieren und nicht einmal als gesamte und einmal als äußere Ableitung. Wenn ich also beispielsweise sage, dass g(x) = ln(M-x-a) ist, dann definiere ich g'(x)=-1/(M-x-a). Wenn ich aber dann die Anwendung der Kettenregel nochmal explizit aufschreibe und u'(x)=g'(M-x-a) erhalte, dann ist g' plötzlich definiert als g'=1/(M-x-a). Das kann ich einfach nicht machen. Letzlich kommen wir aber beide zum selben Ergebnis.

Du kannst dir doch keine Ableitung definieren. Die steht fest. Partiell muss hier auch nichts sein, wir sind doch eindimensional. Du musst nun einfach mal klar sagen, wie g [die Funktion!!!] aussieht.

entweder g(x) => keine innere Funktion,
oder g(M-x-a) => mit innerer Funktion => nachdifferenzieren.

Es ist völlig irrelevant für die Ableitungsregeln, ob dann g'<0 oder sonst was gilt. Du hattest gegeben:

$\begin{eqnarray*} U(x)=u(x)+g(M-x-a) \end{eqnarray*}$ (*)

Damit habe ich weitergemacht.

Zitat:

g(x) ist konkav, zweimal differenzierbar, mit negativem aber abnehmendem Grenzwert

Das ist wirklich so gegeben? Danntritt in eurem Modell g als äußere Funktion auf. Die innere ist $\begin{eqnarray*} h(x)=M-x-a, h'(x)=-1 \end{eqnarray*}$ . Das ist nun mal so, und daher im Optimum:

$\begin{eqnarray*} u'(x)=g'(M-x-a) \end{eqnarray*}$ (#)

Sind wir uns da nun einig? Das ist ja nur aus (*) und der notwendigen Bedingung gefolgert. Ob das "erfüllt" sein kann, ist eine andere Frage. Du hattest aber "vorausgesetzt" es gibt ein Optimum. Und das führt auf (#).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u'(9.58)=g'(3.86)<br /> \Rightarrow u'(7.46)<g'(0.18) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} u'(7.46)=g'(0.18) <br /> \Rightarrow u'(9.58)>g'(3.86) \end{eqnarray*}$

Deine Folgerungen

Deine Folgerungen fallen für mich vom Himmel. Wie begründest du das? Das fehlt hier ganz entscheidend. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und woher kommen nun diese ganz konkreten Zahlen? Vorher waren wir bei

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \hat x&&=0.65\cdot \frac{1}{2}M+0.35 \cdot (M-a) <br /> &&= 0.325M + 0.35M - 0.35a <br /> &&= 0.675M-0.35a \end{eqnarray*}$

Ich bin nun unterwegs. Habe einen Kollegen dazugebeten, damit das hier nicht ins Stocken gerät. So gnaz kommt er aber auch nicht hinter deine Ideen. Wink

Wink

25.08.2011, 14:13

jema

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RE: Beweis von Verhältnissen zwischen Optimalpunkten
Okay, wir haben die Ganze Zeit das Gleiche gemeint, ich kann nur nicht gut erklären und bin kein Mathematiker. Ich denke, wir sind uns dann nun einig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für die äußere Funktion g gilt dann natürlich, dass die erste Ableitung positiv und die zweite negativ ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u'(9.58)=g'(3.86)<br /> \Rightarrow u'(7.46)<g'(0.18) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u'(7.46)=g'(0.18) <br /> \Rightarrow u'(9.58)>g'(3.86) \end{eqnarray*}$

Die ganzen konkreten Zahlen habe ich ausgerechnet. Ich habe ganz viele verschiedene Entscheidungen mit unterschiedlichen Werten von a und b. Mit den durchschnittlichen Werten und M=15 landet man bei den obrigen Werten.
Ursprünglich wollte ich das Ganze so allgemein wie möglich halten, aber mit den konkreten Zahlen ist es übersichtlicher.
Die Optimalwerte fallen nicht vom Himmel, sondern es sind einfach genau die Werte, die mich interessieren, da sie die Grenze zwischen einer Klassifizierung als nett oder nicht nett bilden. Ich sage nicht, dass das die einzig möglichen Optimalwerte sind, die U(x) oder V(x) haben können. Das ist ja abhängig von den Funktionen g und u, die ich aber nicht kenne.
Ich möchte lediglich wissen, ob
angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} u'(9.58)=g'(3.86) \end{eqnarray*}$
dann automatisch
$\begin{eqnarray*} u'(7.46)<g'(0.18) \end{eqnarray*}$
gilt und ob
angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} u'(7.46)=g'(0.18) \end{eqnarray*}$
dann automatisch
$\begin{eqnarray*} u'(9.58)>g'(3.86) \end{eqnarray*}$
gilt bzw. ob man überhaupt etwas darüber sagen kann.

25.08.2011, 14:32

tigerbine

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Ermittlung der Fragestellung:
Also wir hätten dann:

$\begin{eqnarray*} u'(9.58)=g'(3.86) \end{eqnarray*}$

und u, g sind C² mit

$\begin{eqnarray*} u''(x)\le 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u'(x)>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u'(x_1)>u'(x_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g''(x)\le 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g'(x)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x_1)>g'(x_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$

als einzige Theoretische Hilfsmittel.

Deine Frage ist nun, kann man zeigen/folgern:

$\begin{eqnarray*} u'(7.46)<g'(0.18) \end{eqnarray*}$

========================================

Wenn dem so ist, dann schreib den erstes Beispiel [mit dem plots] bitte mal mit latex hier rein, und zeige, dass es dort gilt. Wink

Wink

25.08.2011, 15:21

jema

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RE: Ermittlung der Fragestellung:

U(x) ist lila. Ihr Maximum liegt bei (ungefär, fast genau) 9.58. Damit gilt

$\begin{eqnarray*} u'(9.58)=g'(15-9.56-1.56=3.86) \end{eqnarray*}$

V(x) ist türkis. Ihr Maximum liegt ganz offensichtlich links von x=7.46, nämlich bei x=5.4. Damit gilt

$\begin{eqnarray*} u'(7.46)<g'(15-7.46-7.36=0.18) \end{eqnarray*}$

Nun andersherum

Das Maximum von V(x) liegt nun fast genau bei x=7.46. Damit gilt

$\begin{eqnarray*} u'(7.46)=g'(15-7.46-7.36=0.18) \end{eqnarray*}$

Das Maximum von U(x) liegt offensichtlich rechts von x=9.58, nämlich bei x=13.14. Damit gilt

$\begin{eqnarray*} u'(9.58)>g'(15-9.56-1.56=3.86) \end{eqnarray*}$

Stimmt doch alles, oder?

26.08.2011, 00:07

tigerbine

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RE: Ermittlung der Fragestellung:
Ich meinte eher, dass ich mal die Funktionen getext haben wollte.

$\begin{eqnarray*} U(x)=u(x)+g(M-x-a)=2 \sqrt{x}+1.288\cdot \sqrt{13.44-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(x)=u'(x)-g'(M-x-a)=\frac{1}{\sqrt{x}}-0.644 \cdot \frac{1}{\sqrt{13.44-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^*= 9.500005655 \end{eqnarray*}$

==============================

Dabei ist hier nun aber die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=1.288*\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x)=13.44-x \end{eqnarray*}$ . Damit genügt $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht den von dir geforderten Bedingungen.

Zitat:

g(x) ist konkav, zweimal differenzierbar, mit negativem aber abnehmendem Grenznutzen

$\begin{eqnarray*} g''(x)\le 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g'(x)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x_1)>g'(x_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$

Für die verkettete Funktion $\begin{eqnarray*} k(x):=g(h(x)) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} k''(x)\le 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k'(x)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k'(x_1)>k'(x_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$

Wenn du statt g eigentlich k gemeint hast, dann muss aber auch U anders lauten.

==============================

Dann sind wir im Grunde nur bei der Frage, wie sich die Maxima folgender Schar verhalten.

$\begin{eqnarray*} U_s(x)=u(x)+k_s(x)=2 \sqrt{x}+1.288\cdot \sqrt{s-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-0.644\cdot \frac{1}{\sqrt{s-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_s^* =0.7068456588s \end{eqnarray*}$

Also, je größer s, umso weiter rechts das Maximum. So erklärt sich deine Beobachtung, mit den Funktionen in dieser konkreten Gestalt.

=============================

Du solltest dein Modell auf meine Bemerkungen hin überprüfen, vorher macht eine allgemeine Untersuchung keinen Sinn.

Ich melde mich ab, ein Kollege ist informiert.

26.08.2011, 08:54

jema

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RE: Ermittlung der Fragestellung:

Zitat:

Wenn du statt g eigentlich k gemeint hast, dann muss aber auch U anders lauten.

Genau, ich habe statt g k gemeint. So sind wir denn, nach der Erkenntnis dass ich nicht in der Lage bin, meine Funktionen richtig zu definieren, endlich an dem Punkt, wo wir beide wissen, was ich eigentlich will Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Dann sind wir im Grunde nur bei der Frage, wie sich die Maxima folgender Schar verhalten. Also, je größer s, umso weiter rechts das Maximum. So erklärt sich deine Beobachtung, mit den Funktionen in dieser konkreten Gestalt.

Das die Maxima immer weiter rechts liegen, je größer s ist, war mir ja von Anfang an klar. Die Frage ist aber, ob diese Rechtsverschiebung immer groß genug ist, damit meine Hypothese stimmt und ob man das irgendwie beweisen kann, oder ob es nur bei den konkreten Werten zufällig gerade passt verwirrt

verwirrt

26.08.2011, 10:49

tigerbine

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RE: Ermittlung der Fragestellung:
Es ist für einen Helfer schon sehr demotivierend, nachdem wir endlich mal eine Zeile haben, die mathematisch sauber dasteht, zu hören: "War mir klar." Ob so weitere Leute Lust bekommen, sich in dein Problem einzulesen... Nur mal so am Rande. Augenzwinkern

Augenzwinkern

=======================================================================

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U_s(x)=u(x)+k_s(x)=2 \sqrt{x}+1.288\cdot \sqrt{s-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_s'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-0.644\cdot \frac{1}{\sqrt{s-x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_s^* =0.7068456588s \end{eqnarray*}$

Nun setzt da mal für s deine beiden Werte ein und zeige, wie du das Ergebnis mit deiner Theorie über den Entscheider deckt.

Ist der Faktor vor dem s eine Möglichkeit ein Gegenbeispiel zu konstruieren? Hier können wir ja die Extremstellen schön berechnen.

========================================================================

$\begin{eqnarray*} U_s(x)=u(x)+k_s(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_s'(x)=u'(x)+k'_s(x)\stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

Man wird ja am Ende versuchen müssen, die Maxima $\begin{eqnarray*} x_s^* \end{eqnarray*}$ für diese beiden Werte allgemein aus der Funktion heraus abschätzen müssen.

26.08.2011, 12:29

jema

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RE: Ermittlung der Fragestellung:

Zitat:

Es ist für einen Helfer schon sehr demotivierend, nachdem wir endlich mal eine Zeile haben, die mathematisch sauber dasteht, zu hören: "War mir klar." Ob so weitere Leute Lust bekommen, sich in dein Problem einzulesen... Nur mal so am Rande.

Sorry, wenn das komisch rüberkam. War in keinster Weise böse oder abwertend gemeint. Ich wollte bloß klar machen, dass das nicht das eigentliche Problem ist und verhindern, dass wir uns wieder missverstehen. Ich bin sehr dankbar, dass du dich überhaupt damit befasst. Gott

Gott

Wenn ich für s die Werte einsetze, kommt genau das raus, was ich mit den Plots unten gemalt habe und alles passt. Aber die Funktionen u(x) und k(x) habe ich ja auch genau so konstruiert, dass das passt. Das heißt, der Faktor vor dem s muss genau so sein, damit die Maxima überhaupt an den interessanten Stellen liegen. Wenn ich s verändere, passt alles nicht mehr. Ich kann also mit diesen Funktionen auch kein Gegenbeispiel konstruieren.

Wenn ich bei den konkreten Funktionen

$\begin{eqnarray*} u(x)=c \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k(x)=d\cdot \sqrt{13.44-x} \end{eqnarray*}$

bleibe, dann müssen c und d in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen, damit das Optimum von U(x) bei x=9.58 liegt. Dann bleibt das Ergebnis für meine Optima immer gleich und genauso, wie ich es gern hätte.

Es gibt doch aber bestimmt noch andere Funktionen mit den nötigen Eigenschaften, für die es bei einer bestimmten Formulierung ein Optima bei den interessierenden Punkten gibt, oder? Die Frage ist, ob das Ergebnis für die auch passt. Ich weiß ja nicht, wie u(x) und k(x) genau lauten. Ich weiß nur, dass beide konkav sind, eine steigt und eine fällt verwirrt

verwirrt

28.08.2011, 17:38

tigerbine

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RE: Ermittlung der Fragestellung:

Zitat:

Es gibt doch aber bestimmt noch andere Funktionen mit den nötigen Eigenschaften, für die es bei einer bestimmten Formulierung ein Optima bei den interessierenden Punkten gibt, oder?

Es mag sicher noch solche Funktionen geben, aber das sind dann ja auch nur wieder Beispiele. Allgemein ist viel zu wenig bekannt, als dass man gernerell einen konkreten Optimalpunkt überhaupt ermitteln kann.

am Anfang ahttest du aber nicht nach einem konkreten Wert, sondern einer Abschätzung gefragt.

Zitat:

Die Frage ist, ob das Ergebnis für die auch passt. Ich weiß ja nicht, wie u(x) und k(x) genau lauten. Ich weiß nur, dass beide konkav sind, eine steigt und eine fällt

Eben. Wir haben nicht mehr in der Hand als

$\begin{eqnarray*} U_s(x)=u(x)+k_s(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_s'(x)=u'(x)+k'_s(x)\stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

Bislang konnte ich dem Thread aber noch keinen Beweis für

Zitat:

aus der konkreten Rechnung
Dann sind wir im Grunde nur bei der Frage, wie sich die Maxima folgender Schar verhalten. Also, je größer s, umso weiter rechts das Maximum. So erklärt sich deine Beobachtung, mit den Funktionen in dieser konkreten Gestalt.

entnehmen. Also im Grunde wäre da z.Z.

Für $\begin{eqnarray*} U_s(x)=u(x)+k_s(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \in \mathbb R^+_0 \end{eqnarray*}$ gilt mit $\begin{eqnarray*} s_1<s_2 \end{eqnarray*}$ dann auch $\begin{eqnarray*} x^*_{s_1}<x^*_{s_2} \end{eqnarray*}$ , wobei

$\begin{eqnarray*} x^*_{s_1},x^*_{s_2} \end{eqnarray*}$ als exisiterende Maxima von $\begin{eqnarray*} U_{s_1}, U_{s_2} \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt werden.

=========================================================================
Das zieht gleich die Frage nach sich, ob diese Existenzannahme sinnvoll ist [Es gibt immer mindestens 1 Maximum?], oder gibt es ein Beispiel ohne Maximum?

=========================================================================

Weiter kommt die Frage hinzu, ob man aus dem Beweis für $\begin{eqnarray*} x^*_{s_1}<x^*_{s_2} \end{eqnarray*}$ einen Bezug zu s herstellen kann. Vielleicht hat man eine Abschätzung benutzt.

===========================================================================
==

Der Thread enthält nun nicht eine "ja/nein" Antwort auf deine Frage, imho nun jedoch eine Fragestellung mit der man weiter arbeiten kann.

Es ist nun allerdings imho keine übliche Frage aus einer Übungsaufgabe, daher kann ich dir nun auch nicht sagen "Ich sehe die Lösung sofort" und lege dir Köder aus sie selbst zu finden. Ich nehme an, es stammt aus irgendeiner Arbeit die du anfertigen musst und ich muss sagen, dass ich darein nicht mehr Zeit investieren möchte.

Ich rate dir, dich mit demjenigen zu besprechen, der dir die Frage aufgetragen hat. Ihr seid da beider mehr im Thema drin. Generell möchte ich dir noch mitgeben, stärker zu isolieren: was ist gegeben, was ist gesucht (und zwar in mathematischer Form).

Wenn meine "Spieltheorie" Vermutung richtig ist, so könnte sich auch ein Blick auf die Lehrgebiete der angewandten Mathematiker bei eurer Uni lohnen. Es wird auch dort ggf. Spieltheorie/Optimierung gelesen. Vielleicht findest du einen Doktoranen /Professor zum Austausch.

Viel Erfolg. Wink

Wink

29.08.2011, 08:27

jema

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RE: Ermittlung der Fragestellung:
Dankeschön für deine Hilfe smile

smile

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