Formel durch Umformung oder Iteration lösen?

23.08.2011, 13:46	Manny	Auf diesen Beitrag antworten »
Formel durch Umformung oder Iteration lösen? Hallo allerseits! Ich stehe im Rahmen meiner Bachelorarbeit in VWL mit folgendem Problem auf dem Schlauch, und ich entschuldige mich schon im Vorhinein, dass ich die Frage in "Sonstiges" gepackt habe, ich wusste einfach nicht, wo sie sonst hingehört. Also: da ist eine relativ große Matrix $\begin{eqnarray} (a_{ij}) \in \left\{ 0;1 \right\} ^{n \times m} \end{eqnarray}$ , die als Einträge nur Nullen und Einsen hat. Ich suche jetzt einen Vektor $\begin{eqnarray} x = (x_1, \ldots , x_n)^T \end{eqnarray}$ , der bis auf bis auf einen Faktor durch folgende Formeln bestimmt ist: $\begin{eqnarray} x_i = \frac{c_i}{\sum_{j=1}^{m} \frac{\gamma_{ij}}{\sum_{k \colon a_{kj} = 1} x_k}}, ~(i = 1,\ldots,n) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} c_1, \ldots, c_n \end{eqnarray}$ bekannte Konstanten sind und $\begin{eqnarray} \gamma_{ij} = 1 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} a_{ij} = 1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \gamma_{ij} = 0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} a_{ij} = 0 \end{eqnarray}$ . Außerdem gibt es in der Matrix genug Einsen, dass in oben genannter Formel für kein i irgendwo eine Null im Nenner steht. So, ich hoffe, das war nicht zu verwirrend dargestellt. Nun würde ich gerne x bestimmen. Ich hätte zwei Ansätze. Der erste wäre, z.B. $\begin{eqnarray} x_1 = 1 \end{eqnarray}$ zu setzen, dann müssten die anderen Werte ja dadurch determiniert und durch cleveres Umformen zu finden sein, was mir allerdings nicht gelingt. Ansatz Nummer zwei wäre ein iteratives Verfahren. Ich setze $\begin{eqnarray} x_1 , \ldots , x_n \end{eqnarray}$ mit beliebigen Werten gleich und setze diese dann sukzessive in die rechten Seiten der Formeln ein, was ich so lange wiederhole, bis die Gleichungen erfüllt sind. Das funktioniert auch mit meinen Werten, ich kann allerdings nicht beweisen, wieso dieses Verfahren gegen einen Lösungsvektor $\begin{eqnarray} x^{} = (x_1^{}, \ldots , x_n^{})^T \end{eqnarray*}$ konvergiert. Ich bin für jede Hilfestellung sehr dankbar. Beste Grüße! Manny
27.08.2011, 19:46	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Manny, Falls die Frage noch aktuell ist: Gibt es nicht noch irgendwelche Einschränkungen zu den $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ (müssen die z.B. immer positiv sein o.ä.)? Und evtl. könntest du ja noch etwas dazu sagen, woher diese seltsame Formel kommt (vor allem, ob sie wirklich unbedingt so gelöst werden muss oder ob du irgendwas umgeformt hast, bis du bei dieser Formel angelangt bist und nicht weiterkamst)?
28.08.2011, 13:16	Manny	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, das hätte ich gleich verraten können. Die Idee ist, in besagter Matrix sämtliche Einträge mit Eins gegen Werte auszutauschen, so dass sich für die Spalten eine Summe von 1 und in den Zeilen eine Summe von $\begin{eqnarray} m c_i \end{eqnarray}$ ergibt (das $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ hab ich in der Formel unterschlagen) und außerdem in jeder Spalte das Verhältnis der Einträge ungleich null dasselbe ist (also $\begin{eqnarray} \frac{a_{ij}}{a_{kj}}=\frac{a_{il}}{a_{kl}} \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} a_{ij},a_{kj},a_{il},a_{kl} \end{eqnarray}$ ungleich null sind). Die ursprüngliche Matrix ist so beschaffen, dass in jeder Spalte gleich vielen Einsen, in den Zeilen aber unterschiedlich viele Einsen sind. Und es gilt $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} c_i = 1 \end{eqnarray}$ . So, das ist das eigentliche Problem. Meine Idee war jetzt, Werte $\begin{eqnarray} x_1, \ldots, x_n \end{eqnarray}$ zu finden, so dass ich dann jeden Eintrag mit $\begin{eqnarray} a_{ij} = 1 \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ eintauschen kann und dann nur noch die Spalten normiere. So bin ich auf die Formel für $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ gekommen (bei der eben $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ eigentlich $\begin{eqnarray} m c_i \end{eqnarray}$ sein soll). In diesem Sinne... ja, die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ sollten positiv sein, ansonsten gibts aber keine Einschränkungen dafür.

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