Lineare Abbildung: Direkt

23.08.2011, 15:37	JuliusSpringer	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung: Direkt Hi, Ich muss gerade Beweisen, warum ich aus $\begin{eqnarray} \phi(U_1) + \phi(U_2) direkt => U_1 + U_2 direkt \end{eqnarray}$ folgern kann. Wobei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eine inkektive lineare Abbildung V->W ist. In der Musterlösung steht: $\begin{eqnarray} \phi(U_1) \cap \phi(U_2) = \{0\} \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \phi(U_1 \cap U_2) = \{0\} \end{eqnarray}$ Wieso kann ich die einfach so zusammenziehen? Ich dachte, dass ich das nur mit der auf V definierten Operations machen kann, oder überseh ich mal wieder eine Kleinigkeit? Grüße, JuliusSpringer
23.08.2011, 17:27	C3P0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, überlege dir, dass immer $\begin{eqnarray} \phi(U_1 \cap U_2) \subseteq \phi(U_1) \cap \phi(U_2) \end{eqnarray}$ gilt, dazu musst du auch nicht verwenden, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung ist, das gilt schon für beliebige Abbildungen. Da $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ injektiv ist, kannst du sogar die Gleichheit zeigen, aber das brauchst du eigentlich nicht unbedingt. Zusammen mit der Voraussetzung $\begin{eqnarray} \phi(U_1) \cap \phi(U_2) = \{0 \} \end{eqnarray}$ folgt nämlich schon $\begin{eqnarray} \phi(U_1 \cap U_2) = \{0 \} \end{eqnarray}$ . Nun musst du die Injektivität von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ verwenden, um die eigentliche Behauptung zu zeigen. Anmerkung: Allgemein (wenn $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ nicht injektiv ist) kann es passieren, dass $\begin{eqnarray} \phi(U_1 \cap U_2) \subsetneq \phi(U_1) \cap \phi(U_2) \end{eqnarray}$ ist, dann kannst du also nicht einfach zusammenziehen. Grüße

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