Beweis Inverse Matrix

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23.08.2011, 16:58	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Inverse Matrix Moin moin, Habe gerade mal einen Beweis gemacht, da aber in meinen Buch dazu keine Lösung steht, wollte ich euch mal bitten drüber zu schauen: $\begin{eqnarray} A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} A A^{-1}=A^{-1} A = I_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A A^{-1} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \frac{d}{ad-bc} & - \frac {b}{ad-bc} \\ - \frac {c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} (a \frac{d}{ad-bc})+(b (-\frac{c}{ad-bc})) & (a \frac{b}{ad-bc})+(b (-\frac{a}{ad-bc})) \\ (c \frac{d}{ad-bc})+(d (-\frac{c}{ad-bc})) & (c \frac{b}{ad-bc})+(d (-\frac{a}{ad-bc})) \end{vmatrix} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{-1}A=\begin{vmatrix} (\frac{d}{ad-bc} a)+((-\frac{b}{ad-bc})c) & (\frac{d}{ad-bc}b)+((-\frac{b}{ad-bc})d) \\ ((- \frac{c}{ad-bc})a)+(\frac{a}{ad-bc}c) & ((- \frac{c}{ad-bc})b)+(\frac{a}{ad-bc} d) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} ad-bc \ne 0 \end{eqnarray}$ Kann man das so schreiben ?? tigerbine: Matrix nennt man das.
23.08.2011, 19:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man nicht so schreiben, denn eine Matrix schreibt man nicht in senkrechten Strichen, sondern in Klammern: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Sähe etwas schöner aus, wenn du 1 durch die Determinate $\begin{eqnarray} \frac 1 {ad-bc} \end{eqnarray}$ als Skalar vor die inverse Matrix schreibst, denn ein Faktor statt acht Faktoren ist einfacher lesbar.
23.08.2011, 20:44	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Und sorry Binen Matrix natürlich. Solche Probleme hab ich immer wieder ^^ vielleicht weil ich im Selbststudium lerne. In dem Buch stehen die matrizen immer in eckigen klammern und dann wusste ich nicht so genau was ich nehmen soll. Zu den determinanten bin ich noch nicht gekommen. Wie musste es denn dann aussehen??
23.08.2011, 21:22	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
Übliche Klammern für Matrizen sind $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ ist für die Determinante der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist Zufall, dass ihr zwei aber auch schon auf Determinante zu sprechen gekommen seid.
23.08.2011, 22:44	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke.... Und wie hätte ich das jetzt schreiben sollen ??
24.08.2011, 03:44	GastuserValid	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie die beiden vor mir schon sagten, ist es a) falsche Matrizenklammern - Jeremy hat hier die Alternativen genannt. (Das verstößt gegen die Konvention der Notation, kein inhaltlicher Fehler, bloss sind Betragsstriche meistens für die Determinante reserviert - was damit gemeint ist, wird in deinem Buch wohl eingeführt, wenns pädagogisch sinnvoller ist) b) reine Ästhetik, denn $\begin{eqnarray} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sieht schöner aus als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{a}{ad-bc} & \frac{b}{ad-bc} \\ \frac{c}{ad-bc} & \frac{d}{ad-bc} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , außerdem spart man sich Schreibaufwand.
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24.08.2011, 10:04	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Inverse Matrix Hab mal die Klammern umgeschrieben, Danke für die Tipps, ist echt immer wieder sehr hilfreich. $\begin{eqnarray} A A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{d}{ad-bc} & - \frac {b}{ad-bc} \\ - \frac {c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a \frac{d}{ad-bc})+(b (-\frac{c}{ad-bc})) & (a \frac{b}{ad-bc})+(b (-\frac{a}{ad-bc})) \\ (c \frac{d}{ad-bc})+(d (-\frac{c}{ad-bc})) & (c \frac{b}{ad-bc})+(d (-\frac{a}{ad-bc})) \end{bmatrix} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{-1}A=\begin{bmatrix} (\frac{d}{ad-bc} a)+((-\frac{b}{ad-bc})c) & (\frac{d}{ad-bc}b)+((-\frac{b}{ad-bc})d) \\ ((- \frac{c}{ad-bc})a)+(\frac{a}{ad-bc}c) & ((- \frac{c}{ad-bc})b)+(\frac{a}{ad-bc} d) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ @GastuserValid ich verstehe b noch nicht ganz, wie müsste ich das denn dann schreiben. wenn $\begin{eqnarray} A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ ist dann ist $\begin{eqnarray} A^{-1}= \frac {1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ müsste ich das dann so schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> A A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \frac {1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ ?? aber da müsste mann dann doch das $\begin{eqnarray} \frac {1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ klammern oder nicht??
24.08.2011, 11:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sind ein paar logische Ungenauigkeiten und ein paar rechnerische Ungeschicklichkeiten drin. Auch stimmen die Vorzeichen nicht überall. 1. Du willst ja zeigen, daß eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Inverse besitzt. Dann darfst du für diese Inverse nicht schon am Anfang $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ schreiben. Denn zu diesem Zeitpunkt weißt du ja noch gar nicht, daß es tatsächlich die Inverse ist. 2. Beginne also mit zwei Matrizen $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \, , \ \ B = \frac{1}{\lambda} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \ \ \text{mit} \ \ \lambda = ad-bc \neq 0 \end{eqnarray}$ In deiner zweiten Matrix tritt $\begin{eqnarray} ad-bc \end{eqnarray}$ an jeder Stelle als Nenner auf. Daher ist es günstig, diesen Nenner als Faktor vor die gesamte Matrix zu ziehen, um Schreibarbeit zu sparen. Das darf man, denn so ist gerade die skalare Multiplikation einer reellen Zahl mit einer Matrix definiert. Zudem habe ich die Abkürzung $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eingeführt. Damit erspare ich mir den langen Ausdruck und führe ihn erst dann ein, wenn ich ihn tatsächlich brauche. 3. Und jetzt berechne $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Nutze aus, daß man einen skalaren Faktor vor das gesamte Matrizenprodukt ziehen darf, also $\begin{eqnarray} AB = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \left( \frac{1}{\lambda} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{\lambda} \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ Jetzt rechne weiter. Und sobald der Ausdruck $\begin{eqnarray} ad-bc \end{eqnarray}$ entsteht, gleich $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ dafür schreiben.
24.08.2011, 12:05	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Leopold, Das mit Skalaren Faktor und der Substitution ist echt cool... an so was hab ich gar nicht gedacht. Aber eigentlich sollte nur gezeigt werden das $\begin{eqnarray} AA^{-1} = A^{-1}A=I \end{eqnarray}$ gild. Aber ich versuche mal da weiter zu rechnen, mal sehen was rauskommt $\begin{eqnarray} AB = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \left( \frac{1}{\lambda} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{\lambda} \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \right) = \frac {1}{\lambda} \begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ba \\ cd-dc & -cb+da \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac {ad-bc}{\lambda} & \frac {-ad+ba}{\lambda} \\ \frac {cd-bc}{\lambda}& \frac {cb-da}{\lambda}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I \end{eqnarray}$
24.08.2011, 12:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ein Beweis geklappt hat, ist man erst einmal glücklich. Ein echter Mathematiker geht dann aber dran, die Sache zu optimieren. Die erste Lösung ist meist nicht die beste. i) Warum schreibst du für $\begin{eqnarray} cd-dc \end{eqnarray}$ nicht gleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ? Es ist doch völlig überflüssig, erst noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray}$ in die Matrix hineinzumultiplizieren. Zudem hast du bei den Variablen dann auch noch ein Chaos angerichtet. ii) Und statt für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ am Schluß $\begin{eqnarray} ad-bc \end{eqnarray}$ zu schreiben, hätte ich für $\begin{eqnarray} ad-bc \end{eqnarray}$ einfach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ geschrieben. Also so: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda} \cdot \begin{pmatrix} ad - bc & -ab + ba \\ cd - dc & -cb + da \end{pmatrix} = \frac{1}{\lambda} \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
24.08.2011, 12:30	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap.... so sieht das gleich viel schöner aus Ich weiß, ich muss noch eine menge übern bis ich das so schön hinbekomme wie du. Aber irgendwie muss man ja anfangen. Würde es noch sinn machen zu schreiben, das man daraus $\begin{eqnarray} B = A^{-1} \end{eqnarray}$ Folgern kann??? Wenn ja, wie müsste ich das schreiben?
24.08.2011, 12:46	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} AB = I \Rightarrow B = A^{-1} \end{eqnarray}$ So etwa!
24.08.2011, 12:47	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau und macht das sinn das dazu zu schreiben ?

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