2-dim. Anfangswertproblem

23.08.2011, 17:48

Gast11022013

2-dim. Anfangswertproblem

Meine Frage:
Hallo, liebe MatheboardlerINNEN,

momentan versuche ich, das Thema "Gewöhnliche Differenzialgleichungen" aufzufrischen und habe hierzu eine Aufgabe gerechnet:

Diese stammt aus dem Buch "Gewöhnliche Differenzialgleichungen" von Prof. Dr. Aulbach:

Zitat:

obiges Buch, S. 35
Berechnen Sie eine Lösung des 2-dimensionalen Anfangswertproblems

$\begin{eqnarray*} \dot{u}=v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{v}=\frac{2}{t}v-\frac{2}{t^2}u+\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} u(1)=1, v(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

Betrachten Sie dazu Beispiel 1.1.15.

Dieses Beispiel lautet:

Zitat:

obiges Buch, S. 8

1.1.15 Beispiel: [...] Differenzialgleichung 2. Ordnung

$\begin{eqnarray*} \ddot{x}=\frac{2}{t}\dot{x}-\frac{2}{t^2}x+\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ [...] Man rechnet leicht nach, dass für jede Wahl der beiden reellen Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ die Funktion

$\begin{eqnarray*} \lambda_{\alpha,\beta}(t):=\alpha t+\beta t^2-t\ln(t) \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ die Lösungsidentität [...] erfüllt, dort also eine Lösung der gegebenen Differenzialgleichung 2. Ordnung darstellt.

Meine Ideen:
Es geht ja nun darum, eine Lösung für obiges System 1. Ordnung zu finden. Dieses System ist durch Umformung aus dem Beispiel 1.1.15 entstanden:

$\begin{eqnarray*} u:=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v:=\dot{x} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \dot{u}=v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{v}=\ddot{x}=\frac{2}{t}v-\frac{2}{t^2}u+\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ .

Diese Umformung in ein System 1. Ordnung ist ebenfalls bei Aulbach erklärt.

Außerdem steht dort, daß, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda(t) \end{eqnarray*}$ eine Lösung des ursprünglichen Systems (bzw. der ursprünglichen skalaren Differenzialgleichung) ist, so ist dann $\begin{eqnarray*} (\lambda(t),\dot{\lambda(t)},\hdots,\lambda^{(n-1)}(t)) \end{eqnarray*}$ eine Lösung des "neuen" Systems.

Demnach wäre hier

$\begin{eqnarray*} (\alpha t+\beta t^2-t\ln(t), -\ln(t)+2\beta t+\alpha -1) \end{eqnarray*}$ eine allgemeine Lösung des gegebenen Systems; allerdings soll ja eine spezielle Lösung gefunden werden, da es sich um ein Anfangswertproblem handelt. Demnach muss man noch $\begin{eqnarray*} t_0=1 \end{eqnarray*}$ einsetzen und ein Gleichungssystem lösen, um auf spezielle Werte für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Dies habe ich getan und komme auf

$\begin{eqnarray*} \alpha=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta=0 \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt?

So, das war nun eine Menge Text. Ich hoffe, daß jemand Lust und Interesse hat, mir ein Feedback zu geben.

Edit:

Achso, das muss man dannnatürlich noch einsetzen, man erhält dann, daß

$\begin{eqnarray*} (t-t\ln(t), -\ln(t)) \end{eqnarray*}$ eine Lösung des gegebenen Systems ist.

23.08.2011, 19:51

Luis77

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RE: 2-dim. Anfangswertproblem
Freude

23.08.2011, 19:55

Gast11022013

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RE: 2-dim. Anfangswertproblem
Juhu!

Tanzen

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