Basis bestimmen

20.12.2006, 09:25

moinseflex

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Basis bestimmen

Moins!

Komm bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

Es sei V ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - Vektorraum mit Basis $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_3) \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} (w_1, w_2, w_3) \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} w_1 = 2v_1-v_2-v_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} , \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} w_2 = -v_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} und \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} w_3 = 2v_2+v_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$

(a) Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} (w_1, w_2, w_3) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V ist, und geben sie die Matrix an, die den Koordinaten bezüglich $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_3) \end{eqnarray*}$ eines beliebigen Vektors in V die Koordinaten bezüglich $\begin{eqnarray*} (w_1, w_2, w_3) \end{eqnarray*}$ zuordnet.

(b) Bestimmen sie alle Vektoren in V, welche die gleichen Koordinaten bezüglich beider Basen haben.

Bis jetzt habe ich nur gezeigt,dass $\begin{eqnarray*} (w_1, w_2, w_3) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V ist. Nun weiß ich nicht wie man die Basiswecheslmatrix ausrechnen soll!!! Und zur (b) fällt mir auch nichts ein.

kann mir bitte jemand helfen? bitte.

LG Daniel

20.12.2006, 09:30

20_Cent

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für die matrix reicht es aus, wenn du guckst, auf welche vektoren die v-vektoren abgebildet werden.
wenn du nämlich v an die matrix dranmultiplizierst, dann muss das entsprechende w rauskommen.

mfG 20

20.12.2006, 09:33

moinseflex

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aber was muss ich denn für ne matrix nehmen?

20.12.2006, 09:50

moinseflex

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weil man $\begin{eqnarray*} (v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$ als 1x3-Matrix auffassen kann und $\begin{eqnarray*} (w_1,w_2,w_3) \end{eqnarray*}$ auch als 1x3 Matrix auffassen kann, muss die gesuchte Matrix eine 3x3-Matrix sein, oder? Dann könnte man ein lineares Gleichungssystem aufstellen?
Bitte helft mir.

20.12.2006, 09:58

klarsoweit

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RE: Basis bestimmen
Bestimme zu den Vektoren v1, v2 und v3 die Koordinaten in der Basis $\begin{eqnarray*} (w_1, w_2, w_3) \end{eqnarray*}$ . Diese bilden dann die Spalten in der Basistransformationsmatrix.

20.12.2006, 10:20

moinseflex

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hi klarsoweit, ich verstehe dich nicht, hast du nicht nur die aufgabe wieder gegeben. tut mir leid, wenn es nicht so ist. aber ich versteh nicht, was du mir damit sagen willst.
Lg Daniel

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20.12.2006, 10:38

klarsoweit

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Also noch deutlicher:
Da w1, w2 und w3 eine Basis bilden, muß es möglich sein, den Vektor v1 in dieser Basis darzustellen. Das heißt, es muß Linearfaktoren a1, b1 und c1 geben, so daß $\begin{eqnarray*} v_1 = a_1 \cdot w_1 + b_2 \cdot w_2 + c_3 \cdot w_3 \end{eqnarray*}$ ist. Diese Linearfaktoren bilden die 1. Spalte der Basiswechselmatrix M:

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.12.2006, 11:34

moinseflex

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Also man hat gegeben:
$\begin{eqnarray*} w_1 = 2v_1 - v_2 - v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = - v_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = 2v_2 + v_3 \end{eqnarray*}$

Man erhält durch umformen:
$\begin{eqnarray*} v_1 = 1/2w_1 + w_2 + 1/2w_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2 = - w_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3 = 2w_2 + w_3 \end{eqnarray*}$

Man erhält also eine 3X3-Matrix der folgenden Gestalt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1/2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In den Spalten stehen die v´s und in den Zeilen die w´s.

20.12.2006, 11:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von moinseflex
Man erhält durch umformen:
$\begin{eqnarray*} v_1 = 1/2w_1 + 1/2w_3 \end{eqnarray*}$

Wirklich?

verwirrt

Zitat:

Original von moinseflex
In den Spalten stehen die v´s und in den Zeilen die w´s.

Nee, das kann man nicht sagen.
Nochmal: in den Spalten stehen die jeweils die Koordinatenvektoren der Vektoren v1, v2 und v3, die man dadurch erhält, daß man die Vektoren v1, v2 und v3 in der Basis w1, w2 und w3 darstellt.

20.12.2006, 12:29

tigerbine

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Also man hat gegeben, die Vektoren $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ der Basis B als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ der Basis A

$\begin{eqnarray*} w_1 = 2\cdot v_1 - 1 \cdot v_2 - 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = 0 \cdot v_1 - 1\cdot v_2 + 0 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = 0 \cdot v_1 +2 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$

Tragen wir dass jetzt mal Spalten weise in eine Matrix S ein:

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} 2&-1&-1 \\ 0&-1&0 \\ 0&+2&1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ -1&-1&2 \\ -1&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Des weiteren betrachten wir die Koordinatensysteme (Abbildungen)

$\begin{eqnarray*} \phi_A:K^3 \rightarrow V, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \rightarrow x_1\cdot v_1 + x_2\cdot v_2+ x_3\cdot v_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_B:K^3 \rightarrow V, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2,y_3) \rightarrow y_1\cdot w_1 + y_2\cdot w_2+ y_3\cdot w_3 \end{eqnarray*}$

Somit ist die gesuchte Matrix des Basiswechsels A->B der Abbildung:

$\begin{eqnarray*} T: K^3 \rightarrow K^3, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} T:=\phi^{-1}_B \circ \phi_A \end{eqnarray*}$

Wenden wir uns aber zunächst nochmeinmal der Matrix S zu. Diese stellt den Basiswechsel B-> A dar:

$\begin{eqnarray*} S: K^3 \rightarrow K^3, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} S:=\phi^{-1}_A \circ \phi_B \end{eqnarray*}$

Den Beweis hierzu kann man z.B. in Fischer, Lineare Algebra S. 89 nachlesen.

Wichtig erscheint mir, dass man sich klar macht, was die Matrizen S,T darstellen.

$\begin{eqnarray*} T=M^A_B(id_v) \end{eqnarray*}$

D.h. T ist eine Matrix, die bzgl. der Basen A und B die identische Abbildung von V darstellt.D.h. wir geben die Koordinaten eines Vektors aus V bzgl. der Basis A ein und erhalten als Ergebnis die KLoordinaten dieses Vektors bzgl. der neuen Basis B. Dementspechend:

$\begin{eqnarray*} S=M^B_A(id_v) \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung der Transformationsmatrix T des gesuchten Basiswechsels gilt meist folgende praktische Anleitung:

1. Die neue Basis ist als LK der alten Basis gegeben
2. Übertrage diese Koeffizienten wie oben gezeigt und stelle die S auf
3. Für die gesuchte MAtrix T gilt $\begin{eqnarray*} T = S^{-1} \end{eqnarray*}$

Gruß Wink

Wink

20.12.2006, 12:39

moinseflex

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dankeschön tigerbine. ich habe aber noch einen fehler bei mir entdeckt, v1 war falsch angegeben und dementsprechend auch die 2 zeile erste spalte der matrix. habe es verbessert!

20.12.2006, 12:49

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} T = \begin{pmatrix} 0.5 &0&0 \\ 0.5&-1&2\\ 0.5 &0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo war jetzt dein Fehler? Ich hab die Umstellung nach den v's nicht nachgerechnet! Wink

Wink

20.12.2006, 12:57

moinseflex

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frage an tigerbine: muss in S bei der rechten MAtrix die zweite Zeile erste Spalte nicht eine 1 an Stelle der -1 stehen?

20.12.2006, 12:59

tigerbine

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Wieso? Stimmen den diese Beziehungen nicht?

$\begin{eqnarray*} w_1 = 2\cdot v_1 - 1 \cdot v_2 - 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = 0 \cdot v_1 - 1\cdot v_2 + 0 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = 0 \cdot v_1 +2 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$

20.12.2006, 13:01

moinseflex

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häh, ich dachte $\begin{eqnarray*} T = S^{T} \end{eqnarray*}$ ? Also wäre die gesuchte MAtrix die, die du schon angegeben hast! und da müsste man nur noch das verbessern, was ich vorher geschrieben habe!

20.12.2006, 13:05

tigerbine

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Nein, ich habe geschrieben

$\begin{eqnarray*} T = S^{-1} \end{eqnarray*}$ , also die Inverse.

Das mit dem Transponierten war nur ein hinwes darauch, dass man die LK der w's durch die v's Spaltenweise eintragen muss, und nicht zeilen weise, so wie es hier

$\begin{eqnarray*} w_1 = 2\cdot v_1 - 1 \cdot v_2 - 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2 = 0 \cdot v_1 - 1\cdot v_2 + 0 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_3 = 0 \cdot v_1 +2 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 \end{eqnarray*}$

steht.

20.12.2006, 13:10

moinseflex

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doch, die beziehungen stimmen, aber ich habe gedacht, wenn man $\begin{eqnarray*} (v_1 v_2 v_3) \end{eqnarray*}$ als 1x3Matrix auffasst und diese von links an die 3x3 matrix multipliziert, und für v1, v2, v3 das einsetzt was ich nachumformen der beziehungen rausbekommen habe: $\begin{eqnarray*} v_1 = 1/2w_1 + w_2 + 1/2 w_3, v_2 = - w_3 und v_3 = 2w_2 + w_3 \end{eqnarray*}$ . Dann müsste für diese mulitplikation die 1x3-MAtrix $\begin{eqnarray*} (w_1 w_2 w_3) \end{eqnarray*}$ rauskommen!
aber wahrscheinlich darf ich die Basen nicht als MAtrizen auffassen, Oder?

20.12.2006, 13:23

tigerbine

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Also der WEg zur Bestimmung der Tranformationmatrix geht so wie ich ihn beschrieben habe. Aber es können sicherlich mehrere Wege zum Ziel führen. du willst also unbedingt die Beziehungen rumdrehen. Das müsste im Grunde der Inversion der Matrix entsprechen.

Vamos a ver:

1. $\begin{eqnarray*} w_2 = - 1\cdot v_2 \Rightarrow v_2 = - w_2 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} w_3 = +2 \cdot v_2 + 1 \cdot v_3 = -2w_2 + v_3 \Rightarrow v_3 = 2\cdot w_2 + 1\cdot w_3 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} w_1 = 2\cdot v_1 - 1 \cdot v_2 - 1 \cdot v_3 = 2\cdot v_1 + 1\cdot w_2 - 2\cdot w_2 - 1\cdot w_3 = 2 \cdot v_1 - 1\cdot w_2 - 1 \cdot w_3 \Rightarrow v_1 = 0.5 \cdot w_1 + 0.5 \cdot w_2 + 0.5 \cdot w_3 \end{eqnarray*}$

Schreiben wir wieder:

$\begin{eqnarray*} v_1 = 0.5 \cdot w_1 + 0.5 \cdot w_2 + 0.5 \cdot w_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2 = - w_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_3 = 2\cdot w_2 + 1\cdot w_3 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} T = \begin{pmatrix} 0.5&0.5&0.5 \\ 0 &-1 & 0 \\ 0 &2 &1 \end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix} 0.5&0&0 \\ 0.5 &-1 & 2 \\ 0.5 &0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und wir sind wieder da wo wir schon waren. Ich rate Dir nur dringend von diesem Ansatz ab, da er hier nur so glatt funktioniert, weil die Bezigungen zwischen v,w so sind, dass man eine Art "Rückwärtsubstitution" oder "vorwärtssubstition" durchführen kann. Denn man braucht zur berechnung zunächt 1 dann 2 und schließlich 3 Vektoren. Das ist im Allgemeinen nicht so!

20.12.2006, 13:41

moinseflex

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ok, ich hatte mehrere Fehler bei meiner Umstellung der w´s zu den v´s. Habe sie gefunden, und komme auf die selbe REchnung wie du!
So wie du es jetzt gemacht hast, könnte ich es also als Lösung aufschreiben, oder?
ERstmal vielen vielen Dank, das du dir so eine Mühe gibst! Stand echt lange auf dem SChlauch, damit ich kapiert habe, wie du es meintest!

20.12.2006, 13:48

tigerbine

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Du kannst beide Wege als Lösung aufschreiben. Jedoch musst Du beidesmal begründen, warum die Matrix, sei es nun S oder T aus den Gleichungen folgt.

Dazu habe ich dir den Fischer als Tipp gegeben, ansonten müsstet ihr einen Vermerk dazu in eurer Vorlesung haben. Ich würde dass auf jeden Fall mal lesen, da als nächstes das sogn. $\begin{eqnarray*} SAT^{-1} \end{eqnarray*}$ - Schema kommen sollte, d.h. Darstellung lin. Abbildung bzgl. unterschiedlicher Koordinatensysteme.

20.12.2006, 14:18

moinseflex

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danke nochmal! ich schau mir den fischer an, wenn ich nachher zur uni fahre! danke, danke, danke! kannst du mir vlt. noch bei der 3b helfen? die aufgabenstellung steht ganz am anfang! LG Daniel

20.12.2006, 14:37

tigerbine

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Also ich kopier die Aufgabe nochmal hier her

Zitat:

(b) Bestimmen sie alle Vektoren in V, welche die gleichen Koordinaten bezüglich beider Basen haben.

$\begin{eqnarray*} \text{Sei } z_A \text{ die Koordinatendarstellung/Koordinatenvektor des Vektors } z \in V \text{ bzgl. der Basis A und } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_B \text{ die Koordinatendarstellung/Koordinatenvektor des Vektors } z \in V \text{ bzgl. der Basis B. Dazu schreiben wir:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_A = \begin{pmatrix} z_{1A} \\z_{2A} \\z_{3A} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_B = \begin{pmatrix} z_{1B} \\z_{2B} \\z_{3B} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit dem Wissen von A, liefert uns die Matrix T auch den A-Koordinaten die B-Koordinaten, also

$\begin{eqnarray*} z_B = T\cdot z_A \end{eqnarray*}$

Mit der Gleichheitsbedingung der Koordinaten folgt für dieses LGs:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.5&0&0 \\ 0.5 &-1 & 2 \\ 0.5 &0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_{1A} \\z_{2A} \\z_{3A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_{1A} \\z_{2A} \\z_{3A} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun gilt es dieses LGS zu lösen. Wegen der besonderen Gestalt von T (Umnummerierung würde eine Dreiecksmatrix ergeben, hatte ich schon mal erwähnt) ist die aber "einfach".

Löse die erste Zeile, dann die dritte, dann die zweite.

20.12.2006, 15:09

moinseflex

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muss ganz unten die letzte Gleichung rechts nicht z mit B statt mit A stehen? oder vertuhe ich mich da?

20.12.2006, 15:12

tigerbine

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Well, die Koordinaten sollen doch gleich sein, Amigo!

Deswegen habe ich $\begin{eqnarray*} z_{1B} =z_{1A} \end{eqnarray*}$ etc. gesetzt.

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