Integration durch Substitution von x^2

23.08.2011, 23:36

Mannenntmich

Integration durch Substitution von x^2

Meine Frage:
Ich versuche gerade die substitution des Differentials dx durch du zu verstehen und habe deshalb ein einfaches x^2 versucht durch u=x^2 zu substizuieren.
Deshalb: integral (x^2) dx
Integral u du
du/dx = 2x
dx=du/2x
(u^2)/2*1/2x = (u^2)/4x
Rücksubstitution
((x^2)^2)/4x = (x^3)/4. Sollte aber (x^3)/3 sein.

Verzeiht meine schrift ( iphone )
Bitte was mach ich falsch.

Meine Ideen:
Hab schon versucht das alles mit x=sqrt(x) zu rechnen. kommt auch das selbe falsche raus.

Ich weiss schon dass man da nicht substituieren muss. Ich wills halt einfach wissen.

Danke für antworten :-)

23.08.2011, 23:42

Equester

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Deshalb: integral (x^2) dx
Integral u du
du/dx = 2x
dx=du/2x
(u^2)/2*1/2x = (u^2)/4x
Rücksubstitution
((x^2)^2)/4x = (x^3)/4. Sollte aber (x^3)/3 sein.

Schau dir diese Zeile genauer an! Beachte nach was du integrierst!

23.08.2011, 23:44

Equester

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Für ein paar einfache Beispiele im Umgang mit der Substitution schau dir mal
diese Beispiele an: Klick mich

Beachte nur die Beispiele, der Rest ist nur unnötig kompliziert unglücklich

23.08.2011, 23:49

Mathehelfer

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Du müsstest das x durch sqrt(x) ersetzen: also

$\begin{eqnarray*} \int \! x^2 \, dx = \int \! \frac{u}{2x} \, du =\int \! \frac{u}{2\sqrt{u} } \, du \end{eqnarray*}$

wenn du dann noch richtig integrierst und rücksubstituierst, kommt das richtige raus

23.08.2011, 23:51

Grouser

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Ich habe ehrlich gesagt keine Lust deinen Aufschrieb zu lesen so wie er ist. Daher rechne ich es dir einfach stumpf vor:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} x^2 dx \end{eqnarray*}$
Setze $\begin{eqnarray*} u:= x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 2x = 2\sqrt{u} \Rightarrow dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \end{eqnarray*}$

Damit bekommen wir
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} x^2 dx = \frac{1}{2} \int_{a^2}^{b^2} \sqrt{u} du \end{eqnarray*}$

edit: Gleich 2 schneller? geschockt

23.08.2011, 23:59

Mannenntmich

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Das u hab ich nach du inegriert und das 1/2x einfach drangehängt.

24.08.2011, 00:08

Equester

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Zitat:

Original von Mannenntmich
Das u hab ich nach du inegriert und das 1/2x einfach drangehängt.

Yup, das war dein Genickbruch^^ Zwei verschiedene Variablen und eine Integration
nur nach einer von diesen.
"Mathehelfer" und "Grouser" haben dir gezeigt wie man das umgehen könnte Augenzwinkern

Wichtig bei der Substitution ist, dass du so substituierst, dass nur eine Variable
übrig bleibt, da sonst obiges passiert. Dafür schau dir mal meine Beispiele an.

smile

24.08.2011, 00:14

Mannenntmich

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Danke. Da muss ich wohl noch etwas üben.
Checks zwar noch nicht ganz aber werds schon kapieren.

24.08.2011, 00:19

Equester

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Hier haste die Möglichkeit nochmals nachzufragen!
Wenns unverständlich ist wie ich es erkläre, kann man/ich noch jemand anderes
auftreiben! Die Chance haste nicht immer^^

Also frag, wenn noch was unklar ist. Oder probier selbst noch ein wenig rum
(Siehe Link/Google).

24.08.2011, 01:19

Mannenntmich

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Danke. Ich werde einfavh mal probieren die kettenregel in beide richtungen anzuwenden.
Ich sitze nur leider gerade bei der arbeit im taxi und da kann ich nicht gleich antworten.
War mein erster versuch im forum.
Vielleicht frsg ich mal wieder. ...
Danke an alle
War hilfreich

24.08.2011, 01:27

Equester

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Beachte, dass die Kettenregel bei der Integration nicht gilt.

Bis denne,
Wink

06.05.2022, 09:46

TwoWay

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Wenn ich nun a=-1 und b=1 setze, kommt auf der linken Seite 2/3 raus und auf der rechten 0, da dort nun von 1 bis 1 integriert wird. Wie kann das sein?

06.05.2022, 11:22

HAL 9000

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Du beziehst dich anscheinend auf diese Formel:

Zitat:

Original von Grouser
$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b x^2 ~ \dd x = \frac{1}{2} \int\limits_{a^2}^{b^2} \sqrt{u} ~ \dd u \end{eqnarray*}$

Schauen wir uns doch mal die allgemeine Substitutionsregel für bestimmte Integrale an: $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f\left(g(x)\right)\cdot g'(x) ~ \dd x = \int\limits_{g(a)}^{g(b)} f(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

Es ist durchaus richtig, dass bei dieser Regel $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht notwendig injektiv sein muss. Aber wie sieht das hier für $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ aus: $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f\left(x^2\right)\cdot 2x ~ \dd x = \int\limits_{a^2}^{b^2} f(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

Soweit noch alles richtig, und auch für alle reellen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ anwendbar. Nun aber wird das oben für $\begin{eqnarray*} f(u)=\sqrt{u} \end{eqnarray*}$ angewandt, dann steht dort $\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b \sqrt{x^2}\cdot 2x ~ \dd x = \int\limits_{a^2}^{b^2} \sqrt{u} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ , bzw. wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = \sqrt{|x|^2} = |x| \end{eqnarray*}$ sowie nach Division durch 2 dann

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b |x|\cdot x ~ \dd x = \frac{1}{2} \int\limits_{a^2}^{b^2} \sqrt{u} ~ \dd u\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Die Umwandlung des Integranden links in $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist jedoch nur statthaft für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit dies im gesamten Integrationsgebiet gilt, muss zusätzlich $\begin{eqnarray*} a\geq 0,b\geq 0 \end{eqnarray*}$ gefordert werden - diese Bedingungen muss man also zusätzlich stellen, damit die Formel von Grouser richtig ist. Bei (*) gibt es diese Bedingungen nicht.

10.05.2022, 08:24

TwoWay

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Danke!

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