Grenzwert

24.08.2011, 10:55	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Hallo miteinander. Ich habe kürzlich bei einer Aufgabe unter anderem den Grenzwert der Summe von 2^(-n) (für n=1 bis unendlich) berechnen müssen. Dabei habe ich einfach die ersten paar Werte berechnet und bin zum Schluss gekommen, dass die Summe gegen 1 konvergiert. Nun aber meine Frage: Hätte man das auch anders "sehen" können, bzw. hätte man das mathematisch "schöner" machen können? Gruss, Leo
24.08.2011, 11:00	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Stichwort: Geometrische Reihe.
24.08.2011, 11:32	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Sh... Also sowas? : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } 2^{-n} = \frac{2^{n-1} -2}{2-1} \end{eqnarray}$
24.08.2011, 12:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dicht dran, aber doch völlig falsch. Richtig ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{N} 2^{-n} = \frac{\frac 12^{N+1} -1}{\frac 12-1} -1 \end{eqnarray}$ Und dann den Grenzwert für $\begin{eqnarray} N\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ bilden.
24.08.2011, 13:52	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh.. Alternativ (bitte korrigiert mich, wenn ich falsch liege): Da \|x\|=\|2^(-n)\| < 1 für n>0 gilt auch: 1/(1-x) Oder da x != 1 für n>0 gilt ebenfalls: (1-x^(k+1))/(1-x) [endliche geom. Reihe]
24.08.2011, 14:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind nicht wirklich Alternativen, sondern nur Umformulierungen oder Folgerungen aus der Gleichung, die ich Dir hingeschrieben habe.
Anzeige

24.08.2011, 14:17	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey - ja, die stehen eben als "Spezialfälle" in meiner Formelsammlung. Dann würdest du nur die eigentliche geometrische Reihe auswendig lernen? (oke..du hast recht, im Grunde sind meine zwei Fälle bloss (direkte) Folgerungen aus deiner Formel) Danke für die Hilfe

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »