Konvergenz einer Folge

24.08.2011, 22:34

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz einer Folge

Hallo,

Ich soll folgende Folge auf konvergenz untersuchen. $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig aber fest.

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon}<n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe,

Wähle $\begin{eqnarray*} n_0:=\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil+1 \end{eqnarray*}$

Bloß wieso, das verstehe ich nicht... Forum Kloppe

Forum Kloppe

hangman!

24.08.2011, 23:02

Grouser

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} < n \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung an alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , um die Forderung für das Epsilon zu erfüllen.

Für $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ ist dies ja offenbar erfüllt (wie man leicht sieht).

Das "+1" ist übrigens nötig für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon}\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist.

Verständlich?

24.08.2011, 23:09

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso definiert man sich denn $\begin{eqnarray*} n_0:=\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil+1 \end{eqnarray*}$ ? Ich dachte salopp gesagt sei $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ die Zahl, ab der jede weitere Zahl in der epsilon Umgebung ist... verwirrt

verwirrt

24.08.2011, 23:13

Grouser

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte du hättest einfach vergessen dein Kriterium vollständig abzuschreiben, aber das scheint ja wirklich das Problem zu sein:

Vollständig muss es heißen:

Zu zeigen: Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

24.08.2011, 23:46

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe es immer noch nicht verstanden... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ich melde mich morgen wieder! Schonmal danke für deine Behaglichkeit Big Laugh

Big Laugh

hangman!

Wink

25.08.2011, 09:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
Schonmal danke für deine Behaglichkeit Big Laugh

Big Laugh

Oder Beharrlichkeit? verwirrt

verwirrt

Anzeige

25.08.2011, 09:25

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
Wieso definiert man sich denn $\begin{eqnarray*} n_0:=\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil+1 \end{eqnarray*}$ ? Ich dachte salopp gesagt sei $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ die Zahl, ab der jede weitere Zahl in der epsilon Umgebung ist... verwirrt

verwirrt

Das ist auch so. Die Gaußklammer stellt sicher das es dabei auch um eine natürliche Zahl handelt . Dann würde das ganze so aussehen: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} n_0:=\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil +1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n > n_{0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n} - 0 | = \frac{1}{n} < \frac{1}{\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil +1} \leq \frac{1}{\frac{1}{\epsilon} +1} < \frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = \epsilon \end{eqnarray*}$ .

25.08.2011, 09:58

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur ein kleiner Einwurf: du solltest auf keinen Fall

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \epsilon=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

schreiben, denn $\begin{eqnarray*} \varepsilon<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist Murks.

Cordovan

25.08.2011, 12:09

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist ja das Glied der Folge ab dem jedes weitere Folgenglied in dem epsilon- Streifen enthalten ist. Nun habe ich es so verstanden, wenn $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gewählt wird, sind ja alle weiteren Folgenglieder in dem Streifen enthalten. In diesem Beispiel muss ja

$\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ sein. Damit hat man doch schon gezeigt das in Abhängigkeit von epsilon das n gewählt werden muss. Ich verstehe nicht wieso man plötzlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon}<n \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil+1<n \end{eqnarray*}$ umschreibt... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ist doch das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$

? traurig

traurig

25.08.2011, 12:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ist doch das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$

? traurig

traurig

Nun ja. Das n_0 ist eine natürliche Zahl, was man von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt erwarten kann. Deswegen braucht man ein Konstrukt, daß man zu einer natürlichen Zahl kommt. smile

smile

25.08.2011, 12:21

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist ja das Glied der Folge ab dem jedes weitere Folgenglied in dem epsilon- Streifen enthalten ist.

Nein! Wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a_{n_{0}} \end{eqnarray*}$ das Glied der Folge ab dem....

Zitat:

Nun habe ich es so verstanden, wenn $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gewählt wird, sind ja alle weiteren Folgenglieder in dem Streifen enthalten. In diesem Beispiel muss ja

$\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ sein. Damit hat man doch schon gezeigt das in Abhängigkeit von epsilon das n gewählt werden muss. Ich verstehe nicht wieso man plötzlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon}<n \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil+1<n \end{eqnarray*}$ umschreibt...

Na ja, $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ muss doch eine natürliche Zahl sein.

Zitat:

Das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ist doch das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$

? traurig

traurig

Nein. Wie kommst du darauf? Schau dir lieber noch mal die Definition einer Folge und die Definition für den Grenzwert einer Folge an.

25.08.2011, 13:04

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoo, jetzt habe iches hoffentlich verstanden wieso $\begin{eqnarray*} n_0:=\left\lceil\frac{1}{\epsilon}\right\rceil+1<n \end{eqnarray*}$ gewählt wird. Würden wir $\begin{eqnarray*} n_0:=\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ wählen, dann ist nicht immer gegeben, dass es eine natürliche Zahl ist. Da die Abbildungsvorschrift einer Folge ja als $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{M} \end{eqnarray*}$ definiert ist. Deswegen können auch nur natürliche Zahlen hinein geschmissen werden, salopp formuliert. Ist das korrekt? smile

smile

25.08.2011, 13:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hangman
Da die Abbildungsvorschrift einer Folge ja als $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{M} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Das ist nicht die eigentliche Begründung. Diese ist schlicht und ergreifend, daß n_0 eine natürliche Zahl sein soll.

25.08.2011, 13:13

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von hangman
Da die Abbildungsvorschrift einer Folge ja als $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{M} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Das ist nicht die eigentliche Begründung. Diese ist schlicht und ergreifend, daß n_0 eine natürliche Zahl sein soll.

Okay, jetzt sollte ich es soweit verstanden haben. Vielen dank! Wink

Wink

25.08.2011, 13:32

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage, gibt es zu diesen Thema irgendwo Aufgaben, weiß das jemand? smile

smile

25.08.2011, 13:45

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, massig im Matheboard Augenzwinkern

Augenzwinkern

benutz mal die SuFu. Ansonsten halt google mal fragen...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »