Fredholm-Operator invertieren/umstellen

25.08.2011, 10:07	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Fredholm-Operator invertieren/umstellen Angenommen ich habe einen kompakten Operator $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ (z.B. von $\begin{eqnarray} L^2\to L^2 \end{eqnarray}$ ). Dann ist $\begin{eqnarray} I-K \end{eqnarray}$ ein Fredholm-Operator und genügt der Fredholmalternative. In meinem Fall handelt es sich um einen schwach singulären Integraloperator im L^2. Nun habe ich eine Gleichung $\begin{eqnarray} (I-K)\varphi=\sigma \end{eqnarray}$ , die ich lösen möchte. Nach Fredholm-Alternative treten zwei Fälle auf: - Entweder der Operator ist invertierbar - oder es exsitiert zumindest eine eindeutige Lösung, wenn $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ senkrecht auf dem Kern des adjungierten Problems steht. Jetzt angenommen, wir wissen, dass eine eindeutige Lösung existiert, es gilt aber z.B. nur Fall 2 (senkrecht ist also bewiesen). Gibt es eine Möglichkeit die Gleichung nach $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ umzustellen? D.h. gibt es z.B. einen Operator $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ , den man berechnen kann, sodass $\begin{eqnarray} \varphi=W\sigma \end{eqnarray}$ ? Wenn Fall 1 gilt und zusätzlich $\begin{eqnarray} \\|K\\|<1 \end{eqnarray}$ gilt, dann kann man das Problem mit der Neumann-Reihe lösen. In meinem Fall ist das aber nicht gegeben, insbesondere existiert ja in Fall 2 keine eindeutige Inverse. Soweit ich das richtig sehe, wird dann die Neumannreihe wohl nicht konvergieren. Gibt es da trotzdem irgendwelche Aussagen? Wo kann ich so etwas nachlesen? Gruß MI

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