Summenproblem

25.08.2011, 12:30

Ripper1986

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Summenproblem

Hallo Leute,

ich möchte zeigen, dass folgende Gleichung gilt für $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta>0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m} P_{i,n}^{\alpha}(x)P_{j,m}^{\beta}(y) = 1 \\<br /> <br /> wobei \\<br /> P_{k,n}^{\alpha}=\binom{n}{k} \frac{\prod_{i=0}^{k-1} (x+i \alpha) \prod_{i=0}^{n-k-1} (1-x+i \alpha)} {\prod_{i=0}^{n-1} (1+i \alpha) }, k \in [0,n]_{\mathbb {Z}}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

ein Ansatz oder Tipp wäre nett ;-)

liebe grüße

25.08.2011, 13:32

René Gruber

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Durch Vollständige Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann man

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n P_{k,n}^{\alpha}(x) = 1 \end{eqnarray*}$

nachweisen, woraus ja dann deine Behauptung folgt.

29.08.2011, 15:51

Ripper1986

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hallo nochmal,

ich habe es jetzt mehrfach versucht mit einer Ind. zu lösen aber ich komme einfach nicht weiter. Hat sonst noch jemand eine andere Idee?

gruß

29.08.2011, 16:29

René Gruber

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An sich ist der Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ nicht so schwer, wenn du für $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ die bekannte Binomialkoeffizienten-Formel

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$

(die Bildungsformel des Pascalschen Dreiecks) anwendest... Aber gut, wenn du auf einen noch leichteren Weg hoffst, dann viel Erfolg.

29.08.2011, 16:30

Ripper1986

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wenn ich die Induktion hinbekommen hätte dann hätte ich nicht nochmal geschrieben! Ich teste das gleich nochmal und poste dann mal die stelle an der ich nicht weiterkomme ;-)

gruß
f

29.08.2011, 16:37

René Gruber

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Es ist schon ein Unterschied, ob man nur einen Beweis einfach nicht hinkriegt, oder nach einer anderen Idee schreit. Letzteres zeugt von Misstrauen, dass die erste Idee gar nicht funktioniert.

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29.08.2011, 16:48

Ripper1986

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ich war mir um ehrlich zu sein auch nicht sicher ob das funktioniert ;-)! wenn du aber sagst dass es geht werde ich es nochmal testen. Ich hatte deinen ersten post eher als "idee" aufgefasst ;-)

29.08.2011, 18:11

René Gruber

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Zitat:

Original von Ripper1986
Ich hatte deinen ersten post eher als "idee" aufgefasst ;-)

Wenn ich mir nicht sicher bin, mache ich das deutlich kenntlich, etwa durch "vielleicht könnte ... klappen" o.ä.

Wie zu sehen ist, fehlt diese Unsicherheit in obiger Formulierung, d.h., ich hab die Beweisidee überprüft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.08.2011, 10:07

Ripper1986

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Der IA ist klar.
Jetzt muss ich
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \frac{\prod_{i=0}^{k-1} (x+i \alpha) \prod_{i=0}^{n-k} (1-x+i \alpha)} {\prod_{i=0}^{n} (1+i \alpha) }<br /> \end{eqnarray*}$
zurückführen auf
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{\prod_{i=0}^{k-1} (x+i \alpha) \prod_{i=0}^{n-k-1} (1-x+i \alpha)} {\prod_{i=0}^{n-1} (1+i \alpha) }.<br /> \end{eqnarray*}$
Dies versuche ich so:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \frac{\prod_{i=0}^{k-1} (x+i \alpha) \prod_{i=0}^{n-k} (1-x+i \alpha)} {\prod_{i=0}^{n} (1+i \alpha) }<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> =\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k} \frac{\prod_{i=0}^{k-1} (x+i \alpha) \prod_{i=0}^{n-k-1} (1-x+i \alpha) \cdot (1-x+\alpha (n-k))} {\prod_{i=0}^{n-1} (1+i \alpha)(1+\alpha n) }<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> + \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n}{k-1} \frac{\prod_{i=0}^{k-1} (x+i \alpha) \prod_{i=0}^{n-k} (1-x+i \alpha)} {\prod_{i=0}^{n} (1+i \alpha) }<br /> \end{eqnarray*}$
Die erste Summe kann man nun von k=0 bis n laufen lassen, da der letzte Summand=0 ist. Hier komme ich jetzt aber nicht weiter...

gruß

30.08.2011, 11:08

René Gruber

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Zum einen hatte ich oben bereits gesagt, dass

$\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$

nur für $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ nutzbar ist. D.h., die Summanden für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=n+1 \end{eqnarray*}$ müssen gesondert behandelt werden, ohne diese Zerlegung.

Zum anderen: Es ist doch naheliegend, die aus $\begin{eqnarray*} P_{k,n+1}^{\alpha} \end{eqnarray*}$ hervorgegangenen Produktungetüme mittels $\begin{eqnarray*} P_{k,n}^{\alpha} \end{eqnarray*}$ (erste Summe) bzw. $\begin{eqnarray*} P_{k-1,n}^{\alpha} \end{eqnarray*}$ (zweite Summe) zu schreiben, natürlich muss man dazu Korrekturfaktoren ergänzen...

30.08.2011, 14:12

Ripper1986

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Hallo,
ich muss dann doch nochmal nachfragen... ich habe jetzt:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(\prod_{i=1}^n(1-x+i\alpha) + \prod_{i=1}^n(x+i\alpha))}{\prod_{i=1}^n(1+i\alpha)} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x+i\alpha)\prod_{i=1}^{n-k}(1-x+i\alpha) }{\prod_{i=1}^n (1+i\alpha}<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> +\sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x+i\alpha)\prod_{i=1}^{n-k}(1-x+i\alpha) }{\prod_{i=1}^n (1+i\alpha)}<br /> \end{eqnarray*}$

Der erste Term ergibt sich auch k=0 und k=n+1 und die anderen beiden sind einfach nur über den Binomialkoeffizienten auf gesplittet. Ich weiß allerdings nicht wie ich jetzt den Term umformen soll.. wenn ich die Produkte so "umfummeln" will, dass es passt habe ich da immer irgendwie ein Problem weil ich ja von k abhängige Sachen nicht raus ziehen kann... komme da leider nicht wirklich weiter..

30.08.2011, 14:19

René Gruber

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Tja, leider setzt du diese meine Empfehlung

Zitat:

Original von René Gruber
die aus $\begin{eqnarray*} P_{k,n+1}^{\alpha} \end{eqnarray*}$ hervorgegangenen Produktungetüme mittels $\begin{eqnarray*} P_{k,n}^{\alpha} \end{eqnarray*}$ (erste Summe) bzw. $\begin{eqnarray*} P_{k-1,n}^{\alpha} \end{eqnarray*}$ (zweite Summe) zu schreiben, natürlich muss man dazu Korrekturfaktoren ergänzen...

nicht um. Dabei erwarte ich durchaus keine genialen Gedankenblitze, was diese Umformung betrifft, sondern nur ruhige Betrachtung der beteiligten Produkte.

Die Zweifel

Zitat:

Original von Ripper1986
habe ich da immer irgendwie ein Problem weil ich ja von k abhängige Sachen nicht raus ziehen kann... komme da leider nicht wirklich weiter..

die du da angemeldet hast, lösen sich nämlich in Luft auf, wenn du dich nur mal aufraffen könntest, den ersten Schritt wirklich zu tun.

Gewiss, ein wenig Geduld gehört bei den Umformungen schon dazu, aber das ist ja nun auch keine Aufgabe aus der Grund- oder Mittelschule.

EDIT: Also gut, ein (typischer) Umformungsschritt, hier für den Summanden der zweiten Summe:

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k-1} \frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x+i\alpha)\prod_{i=1}^{n-k}(1-x+i\alpha)}{\prod_{i=1}^n (1+i\alpha)} &=& \binom{n}{k-1} \frac{\prod_{i=1}^{k-2}(x+i\alpha)\prod_{i=1}^{n-(k-1)-1}(1-x+i\alpha)}{\prod_{i=1}^{n-1} (1+i\alpha)} \cdot \frac{x+(k-1)\alpha}{1+n\alpha}\\ &=& P_{k-1,n}^{\alpha}(x) \cdot \frac{x+(k-1)\alpha}{1+n\alpha} \end{eqnarray*}$

30.08.2011, 20:24

Ripper1986

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$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(\prod_{i=1}^n(1-x+i\alpha) + \prod_{i=1}^n(x+i\alpha))}{\prod_{i=1}^n(1+i\alpha)} <br /> + \sum_{k=1}^n \frac{ P_{k-1,n}^{\alpha}(x)(x+(k-1)\alpha)}{(1+n\alpha)}<br /> +\sum_{k=1}^n \frac{ P_{k,n}^{\alpha}(x) (1-x+k\alpha)}{(1+n\alpha)}<br /> \end{eqnarray*}$

okay, da habe ich mich ein bisschen doof angestellt, das liegt aber auch daran, dass ich jetzt nicht weiß wie ich weitermachen soll.. jetzt habe ich immer irgendwas mit einem k noch in der Summe und habe keine Ahnung wie ich die IV anwenden soll!!

gruß

30.08.2011, 21:53

René Gruber

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Die erste Summe (also die mit den $\begin{eqnarray*} P_{k-1,n}^{\alpha}(x) \end{eqnarray*}$ )schreit ja nun geradezu nach der Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} j=k-1 \end{eqnarray*}$ ...

EDIT: Außerdem ist der Faktor $\begin{eqnarray*} (1-x+k\alpha) \end{eqnarray*}$ in der zweiten Summe falsch, da musst du gründlicher arbeiten. unglücklich

unglücklich

31.08.2011, 09:41

Ripper1986

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EDIT:

alles zurück... habe mich verschrieben...

31.08.2011, 09:59

Ripper1986

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okay, ich muss dir recht geben! Es war eigentlich gar nicht so schwer wie ich dachte! habe mich da bei der ein oder anderen Umformung echt dumm angestellt und vor allem habe ich mich 1000 mal verschrieben ;-)!

Vielen Dank für deine Hilfe.

Gruß
F

31.08.2011, 10:02

René Gruber

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Ja, am Ende löst sich alles wundersame Weise auf, wenn man die Geduld besitzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die zunächst abgetrennten Summanden für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=n+1 \end{eqnarray*}$ lassen sich auch in passender Weise wieder in die Summen einbauen ... aber das hast du jetzt wohl auch selbst gesehen.

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