Basis vom Kern einer Matrix

25.08.2011, 12:30

Burning_MOB

Auf diesen Beitrag antworten »

Basis vom Kern einer Matrix

Meine Frage:
Hallo, ich komme bei einer Übungsaufgabe einfach nicht weiter.
Sie lautet:
Gegeben sei eine Abbildung L: $\begin{eqnarray*} R^{3} -> R^{3} durch L \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x & -y & +4z \\ x & +3z \\ 2x & -y & +z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie eine Matrix A an, die die Abbildung L repräsentiert (bezüglich der Standartbasis des $\begin{eqnarray*} R^{3}) \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie die Basis vom Kern von L (Nullraum von L)

Meine Ideen:
Bei a) habe ich es noch hinbekommen, da lautet das Ergbinis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei b) scheitere ich aber immer. Vielleicht habe ich auch den falschen Ansatz:
Ich setzte die Matrix A (aus a)) gleich null und bekomme dann nur die trivale Lösung heraus. Ich weiß nicht wie ich weiter machen soll.
Die richtige Lösung lautet: Basis N von (A): $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Ich bitte um eure Hilfe. Danke schonmal im Voraus

25.08.2011, 12:49

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Kern einer Matrix
[Artikel] Basis, Bild und Kern

Rechnest du den Gauss auch richtig? Addiere mal Zeile 2 und 3, dann siehst du, dass die Matrix nicht vollen Rang haben kann.

25.08.2011, 13:15

Burning_MOB

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Kern einer Matrix
Ich versuche Gauss immer zu vermeiden, da ich ihn irgendwie komplizierter finde.
Bei Gauss wüsste ich jetzt auch nicht auf anhieb wo nach ich umstellen müsste, deswegen wähle ich immer den anderen Weg.

In dem Fall habe ich so gerechnet:
$\begin{eqnarray*} I: 3\alpha -\beta + 4\gamma =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: \alpha + 3\gamma =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III: 2\alpha -\beta + \gamma =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV= 2*I-3*III: \beta + 5\gamma =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V= 2*II - III: -\beta + 5\gamma =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} VI= IV + V: 10 \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings hatte ich auch davor so gerechnet
$\begin{eqnarray*} I: 3\alpha -\beta + 4\gamma =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: \alpha + 3\gamma =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III: 2\alpha -\beta + \gamma =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IV= I-III: \alpha + 3\gamma =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II : \alpha + 3\gamma =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V=IV-II : 0 = 0 \end{eqnarray*}$ ---> Wurde das heißen, dass ich Alpha oder Gamma frei wählen kann, z.B. als 1?

Denn Artikel hatte ich mir durch gelesen, aber da ich leider nur ein sehr schlechtes mathematisches Verständnis habe konnte ich für mein Problem nicht viel daraus ableiten.
Sorry.

Edit:
Ich habe jetzt nochmal mit Gauss probiert
Bei mir sieht es dann so aus:
3a - b + 4c |0
a +3c |0
2a -b + c |0

2. und 3. Zeile addiert:
3a - b +4c |0
3a - b +4c |0

Heißt das jetzt das ich eine dieser beiden Zahlen streichen kann oder muss ich auch den 1.Schritt eine Gleichung streichen?
Wenn ich sie aus dem 2.Schritt streiche, dann habe ich eine Gleichung mit 3 Unbekannten.
Also rechne ich jetzt einfach mal mit dem 1.Schritt und streiche die erste Zeile.

25.08.2011, 13:29

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis vom Kern einer Matrix

Zitat:

Denn Artikel hatte ich mir durch gelesen, aber da ich leider nur ein sehr schlechtes mathematisches Verständnis habe konnte ich für mein Problem nicht viel daraus ableiten.

Aber du postet in einem MatheHS Forum. Da befremden mich solche Aussagen immer.

Es ist doch nur Gauss zu machen. (a) Was ist da bei einer 3x3 Matrix kompliziert? (b) Was ist deine Alternative?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ -3 & 0 & -9 \\ -6 & 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & -1 & -5\\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rest kannst du machen. Nutze eine übersichtliche Form des Aufschreibens. Sonst ist es kompliziert. Big Laugh

Big Laugh

x3 ist frei usw.

25.08.2011, 13:39

Burning_MOB

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aber du postet in einem MatheHS Forum. Da befremden mich solche Aussagen immer.

Irgendwie muss ich den Stoff verstehen können, aber dazu brauch ich halt Hilfe.

Ich verstehe jetzt z.B. nicht, was du mit Gauss erreichen möchtest.
Sonst haben wir es angewendet um z.B. auf einer Seite eine Einheitsmatrix zu erzeugen, damit auf der anderen die Inverse steht.
Probierst du jetzt in einer Zeile nur Nullen zu erzeugen?
Wenn ich es mir richtig überlegt habe, dann kann ich mir aussuchen, ob ich dies in der zweiten oder der dritten Zeile mache, da bei zusammen addiert die erste Zeile ergeben oder liege ich da falsch?

25.08.2011, 13:47

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Irgendwie muss ich den Stoff verstehen können, aber dazu brauch ich halt Hilfe.

Das ist ja auch ok. Aber jemand der Mathe studiert sollte nicht von sich sagen

Zitat:

aber da ich leider nur ein sehr schlechtes mathematisches Verständnis habe

Mit Gauss löst man z.B. lineare Gleichungssysteme. Der Kern einer Matrix ist die Lösungsmenge des homogenen LGS Ax=0. Das habe ich dir nun vorgerechnet.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-5s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=-3s \end{eqnarray*}$

Nun haben wir schon alles, nur noch in passender Form aufschreiben. Klar?

Anzeige

25.08.2011, 14:09

Burning_MOB

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aber jemand der Mathe studiert sollte nicht von sich sagen

Mathe ist bei uns ein Nebenfach, aber leider muss man es auch belegen und schaffen.

Zitat:

Klar?

Ich weiß, eigentlich sollte alles klar sein.
Ich habe es nachgerechnet und verstanden, nur eins noch nicht
und zwar wie du jetzt auf
X3 = s
X2 = -5s
X1 = 3s

gekommen bist. Ich denke es ist eigentlich ganz einfach, aber irgendwie kapier ich es gerade nicht.
Müsste es nicht X1= -3s heißen, denn die Lösung lautet
$\begin{eqnarray*} (-3, -5, 1)^{T} \end{eqnarray*}$

25.08.2011, 14:19

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Minus war ein Tippfehler. Aber wie das s da hin kommt ist klar, oder?

25.08.2011, 14:31

Burning_MOB

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich rechne schon die ganze Zeit, aber ich komme einfach nicht auf $\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2} \end{eqnarray*}$
Das $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ freiwählbar ist und man dort "1" wählt leutet mir ein.

Ist der Ansatz richtig um $\begin{eqnarray*} x_{1} , x_{2} \end{eqnarray*}$ herauszufinden:
$\begin{eqnarray*} x_{1}*\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + x_{2}*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + x_{3} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.08.2011, 14:36

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Na, das ist doch einfach. Man nimmt x3 als freien, daher s. Dann bedeutet Zeile 2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2+5s=0 \Leftrightarrow x_2=-5s \end{eqnarray*}$

Für x1 analog. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.08.2011, 14:38

Burning_MOB

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kam die Erleuchtung, das ist wirklich einfach Hammer

Hammer

Ich danke dir aufrichtig für deine geduldige Hilfe Freude

Freude

25.08.2011, 15:29

Keff91

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Na, das ist doch einfach. Man nimmt x3 als freien, daher s. Dann bedeutet Zeile 2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 5\\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ich gerne mach, ist z.B. bei dem Beispiel

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ anzusetzen. Zu lösen hat mann dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das geht dann ja direkt ohne Probleme. Die Lösung ist

$\begin{eqnarray*} b = -5<br /> <br /> 3 a - (-5) = - 4 \Rightarrow a = -3 \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Und der Kern ist somit

$\begin{eqnarray*} \langle \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray*}$

25.08.2011, 23:24

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

@Keff:
Das ist ja nichts anderes, als s=1 zu wählen. Was ist nun, wenn noch weitere Variablen benötigt werden? Dann ist es ungeschickt, die Variablen konkret zu wählen. Ferner sind die Rechenwege ja identisch. Ob nun mit s oder s=1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.08.2011, 12:58

Burning_MOB

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir hat sich noch eine Frage aufgetan, als ich die Übungen weitergerechnet habe.
Gibt es immer nur ein möglichen Nullraum?

Wenn ich mir aus diesen Thema die Aufgabe anschaue, dann steht in der Lösung:
Basis von N(A) $\begin{eqnarray*} = \left\{ (-3,-5,1)^{T} \right\} \end{eqnarray*}$

Aber was ist wenn ich jetzt folgendes rechne:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & -2 & 8 \\ 2 & 0 & 6 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -5 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit wäre $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ wählbar. Das setze ich gleich 1.
Als Ergebnis hätte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das genauso richtig, da in der Lösung nur ein Ergebnis steht?
Müsste es theoretisch durch die Varibale unendlich viele mögliche Ergebnisse geben?

26.08.2011, 13:40

Keff91

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \langle \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \rangle = \langle \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle \end{eqnarray*}$

27.08.2011, 11:31

Burning_MOB

Auf diesen Beitrag antworten »

@Keff91

Ok, danke für die Antwort

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »