Abstand

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25.08.2011, 13:44	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Hi @ all Ich habe die Menge {1/x + 1/y + 1/z = 1} gegeben. Ich soll den Abstand der Menge von der Ebene E, auf welcher der Vektor (1,1,1)^T normal steht und die durch (1,1,1) geht, berechnen. Die Abstandsfunktion ist dann: $\begin{eqnarray} \frac{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \\ z-1 \end{pmatrix} }{\|\|\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\|\|} \end{eqnarray}$ Was aber, wenn die Menge {a+b+c=6} gegeben ist und die Ebene normal auf (d, e, f)^T steht und durch (g,h,i) geht? Evtl. ist das mit dieser Benennung sinnlos - ich habe das "System" dahinter einfach noch nicht ganz verstanden. Also der Vektor (1,1,1)^T im Zähler steht sicherlich für den Punkt, durch den die Ebene geht. Dann: Warum (x-1, y-1, z-1)^T ? ...weil der Vektor (1,1,1)^T normal auf der Ebene steht? Und warum \|\|(1,1,1)^T\|\| im Nenner? Also wieso genau dieser Vektor? Gruss und danke für die Hilfe
25.08.2011, 14:09	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand ...und gleich noch eine zweite Frage: Warum (wie) kommt man hier [attach]20937[/attach] auf die Abschätzung 12&#8730 3) ?
29.08.2011, 16:23	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Entschuldigt bitte den Formatierungsfehler. Ich meinte, wie man dann auf die Abschätzung $\begin{eqnarray} ... \geq 12 \sqrt{3} \end{eqnarray}$ kommt. Gruss, Leo
29.08.2011, 16:39	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Ich würde dir ja gern helfen, aber ich denke du hast das Problem nicht gut gestellt. Kannst du es nochmal ausführlicher versuchen?
30.08.2011, 13:15	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Natürlich - gerne! Also, zum einen verstehe ich die Abstandsberechnung nicht ganz. Woher kommt welcher Vektor und warum. ...und zum anderen frage ich mich, wie man auf die Abschätzung unten kommt. Dass aus $\begin{eqnarray} ... \geq 12 \sqrt{3} \end{eqnarray}$ dann die Abschätzung $\begin{eqnarray} d_E(x,y,z) \geq 3 \sqrt{3} \end{eqnarray}$ folgt, ist mir dann schon wieder klar. Liebe Grüsse, Leo
30.08.2011, 13:42	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ im Nenner sowie links in Zähler ist der gegebene Normalenvektor der Ebene. Beim rechten Faktor im Skalarprodukt des Zählers $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \\ y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist der Subtrahend ein Punkt aus der gegebenen Ebene, in deinem Fall (1,1,1). EDIT: Kleiner nachmittäglicher Blackout korrigiert.
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30.08.2011, 14:18	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhh Guuut - vielen Dank! Aber woher die untere Abschätzung kommt, kannst du mir auch nicht sagen?
30.08.2011, 16:02	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Die obere Zeile ist nachvollziehbar, wenn auch mit einigen m.E. zu groben Abschätzungen hinsichtlich des Zieles. Was die untere Zeile aber in Hinblick auf die Problemstellung soll, ist unklar: Auf die Menge {1/x + 1/y + 1/z = 1} bezogen gilt doch nicht $\begin{eqnarray} \\| (x,y,z) \\| \geq 12\sqrt{3} \end{eqnarray}$ , zumindest nicht, wenn hier von der euklidischen Norm die Rede ist: Nehmen wir nur den Punkt (3,3,3), der ja in {1/x + 1/y + 1/z = 1} liegt, für den gilt $\begin{eqnarray} \\| (x,y,z) \\| = 3\sqrt{3} \end{eqnarray}$ , was ja gewiss kleiner ist als $\begin{eqnarray} 12\sqrt{3} \end{eqnarray}$
30.08.2011, 23:15	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank für deine Statements! Du hast Recht - hier wird offenbar zuerst gezeigt, dass sich der Punkt wirklich innerhalb der Menge befindet - daher diese Ungleichung. Ich denke, man könnte den Punkt (3,3,3) auch einfach einsetzen und schauen, ob der Punkt wirklich innerhalb der Menge liegt - wie auch immer. Nun hab ich's aber verstanden, was hier gemacht wird Vielen Dank!

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