Orthogonalisierungsverfahren

25.08.2011, 15:01	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalisierungsverfahren Hallo, welche Orthogonalisierungsverfahren gibt es? Ich kenne folgende zwei: - Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren - Kreuzprodukt/Vektorprodukt Beim Vektorprodukt gibts ja das Problem in höheren Dimensionen als 3. Im R3 liefert es Orthogonale Vektoren, die genau dann ein Erzeugendensystem bilden, wenn die Ursprünglichen Vektoren linear unabhängig waren (d.h. selber eine Basis darstellen). Ist das Kreuzprodukt überhaupt geeignet zum Orthogonalisieren? (Ist im R3 sehr angenehm) Laut Wikipedia liefert das Vektorprodukt im Rn gerade: http://upload.wikimedia.org/math/3/f/8/3...aae52d469a6.png Ich nehme mal an, dass die $\begin{eqnarray} \vec{e_i} \end{eqnarray}$ für i=1,...,n die Einheitsvektoren der kanonischen Standardbasis darstellen. Damit erhalte ich einen Vektor im Rn. (Denke in einer Klausur würde vlt. höchstens das R5 gewählt werden um zu orthogonalisieren..) liebe Grüße und schonmal Vielen Dank! Shalec
25.08.2011, 15:24	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalisierungsverfahren Selbst im dreidimensionalen Fall kann man das Kreuzprodukt doch nur verwenden, wenn man schon 2 Vektoren hat um den letzten zu bekommen. Icm n-dimensionalen also auch. Außerdem wär mir das Gram-Schmidt lieber als Det. von einer 5x5 Matrix zu berechnen.
25.08.2011, 22:08	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen wir, wenn wir eine Orthogonalbasis finden wollen und haben im R3 eine beliebige Basis bestehend aus {v,u,w} und überführen diese in {(v x u), (v x w), (u x w)} - wobei "x" das Vektorprodukt angibt - dann haben wir doch auch eine orthogonale Basis gefunden und doch auch so orthogonalisiert oder werf ich da was falsches zusammen?
25.08.2011, 22:42	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist falsch. Woher hast du dieses "Verfahren" ? Das klappt ja z.B. auch nicht, wenn ich eine ONB von einem Unterraum in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ haben möchte oder? Gegenbeispiel zu deinem Verfahren: Die Vektoren (1,1,0) und (1,2,0) und (0,1,1) sind eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , was leicht überprüfbar ist. Jetzt rechne doch mal v x u = (1,1,0) x (1,2,0) v x w = (1,1,0) x (0,1,1) und gucke ob (v x u) orthogonal ist zu (v x w). Ich muss ja nicht mal nach einem Beweis deines Verfahrens fragen, denn ein einfaches Gegenbeispiel deckt schon auf, dass es falsch ist. Also am besten Gram-Schmidt oder du entwickelst ein effektives Verfahren, das mathematisch bewiesen werden kann
28.08.2011, 15:39	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Orthogonalisierungsverfahren haben doch als Ziel "senkrechte" Vektoren zu erzeugen. Deine Wahl der Basis ist offensichtlich ein linear unabhängiges erzeugendensystem der R3. Nun berechnen wir: $\begin{eqnarray} v \times u =\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 0 - 0\cdot 2\\1\cdot 0 - 1\cdot 0\\1\cdot 2 - 1\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}<br /> <br /> v \times w = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1-0\cdot 1\\0\cdot 0 - 1\cdot 1\cdot 1\\1\cdot 1 - 0\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}<br /> <br /> u \times w = \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot 1-0\cdot 1\\0\cdot 0 - 1\cdot 1\\ 1\cdot 1 - 2\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit haben wir eine Basis $\begin{eqnarray} B^=\left\{ v^=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}, u^=\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}, w^=\begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ geschaffen, die doch zur ursprünglichen Basis orthogonal ist. hm..nach einiger Betrachtung ist mir grad aufgefallen, dass jeweils nur 2 der 3 Vektoren der neues Basis zur Ausgangsbasis orthogonal sind. jedoch ist die neu erzeugte Basis lin. unabhängig in sich und zum ehemaligen erzeugenden System. Bedeutet dies, dass dies nur ein System ist um eine Basis zu erzeugen, die unabhängig von der alten ist? Oder blick ich da irgend einen Zusammenhang grad nicht? Liebe Grüße und vielen Dank für deine Antworten Edit:\\ Ach.. <(v x u), (v x w)>=1 .. nicht orthogonal. Ich dachte bislang immer, das orthogonale Basen orthogonal zu anderen stehen und nicht innerhalb wie z.B. die Standardbasis.
28.08.2011, 16:06	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Shalec, genau, worauf ich hinaus wollte, dass das einfach falsch ist. Mehr kann ich dazu auch nicht sagen, da mir so ein Verfahren nicht bekannt ist. Also lieber bei Gram-Schmidt bleiben Da weiß man, was man hat.
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