Cauchy |
| 25.08.2011, 15:05 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Cauchy ist es richtig, dass im Raum der komplexen Zahlen das Statement "Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge, aber nicht jede Cauchy-Folge konvergiert." gilt, im Raum der reellen Zahlen aber falsch ist? gruss |
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| 25.08.2011, 15:09 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Nein. Um es kurz zu machen. Sowohl als auch sind vollständig. |
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| 25.08.2011, 15:13 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
D.h. es gilt in beiden Räumen? |
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| 25.08.2011, 15:15 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
D.h. es stimmt auch, dass jede Cauchy-Folge eine konvergente Folge ist... |
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| 25.08.2011, 15:17 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ahh..stimmt. Natürlich - das gilt auch. Besten Dank für die schnelle Antwort! 
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| 25.08.2011, 15:18 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Um das noch mal klar zu sagen: Die Aussage gilt in keinem der Räume - wobei ich lieber von Körpern sprechen würde (das sind allerdings auch eindimensionale Vektorräme, ja). |
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| 25.08.2011, 15:29 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
..was soll ich aber hiervon halten? [attach]20938[/attach] |
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| 25.08.2011, 15:31 | Anaylsieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Quelle: math - www . uni-paderborn .de /~acrowley/Tutorien/img/Folgen.pdf |
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| 25.08.2011, 15:34 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lies den Text bitte noch einmal genau durch, insbesondere was dort über die reellen und komplexen Zahlen steht. |
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| 25.08.2011, 15:40 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok. Die folgenden Statements sind aber korrekt, oder? Jede konvergente Folge reller und komplexer Zahlen ist eine Cauchy-Folge. ..und folgt nicht aus Cauchy eigentlich die Konvergenz? |
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| 25.08.2011, 15:42 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, jede reelle/komplexe Folge ist eine Cauchyfolge. Und dass aus der Cauchyeigenschaft nicht unbedingt die Konvergenz folgt, ist weiter unten mit einem Beispiel belegt. |
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| 25.08.2011, 15:42 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich korrigiere - die letzte Zeile muss nicht sein. Bitte nur die erste Behauptung berücksichtigen 
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| 25.08.2011, 15:44 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dankeschön! ..solche Behauptungen können ganz schön verunsichernd wirken.. |
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| 25.08.2011, 15:48 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sorry, eine Frage habe ich noch: Wieso ist die Aussage "Jede konvergente Folge auf IR ist eine Cauchy-Folge, aber nicht umgekehrt." falsch? |
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| 25.08.2011, 15:51 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
In IR ist jede Cauchy-Folge konvergent, das steht doch genauso im Text. Lies diesen doch bitte einmal sorgfältig durch, zweiter Satz nach der Aussage. |
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| 25.08.2011, 16:00 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, zusammenfassend: In IR und C (d.h. in vollständigen Räumen) gilt: Cauchy <=> konvergent Im Allgemeinen muss aber weder "=>" noch "<=" gelten. |
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| 25.08.2011, 16:10 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist korrekt so, oder? |
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| 25.08.2011, 16:12 | Keff91 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, das ist falsch. Jede konvergente Folge ist auch eine Cauchy-Folge. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Wenn die Umkehrung in einem Raum gilt, dann vergibt man für diese Eigenschaft einen Namen und sagt der Raum ist vollständig. |
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| 25.08.2011, 16:18 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ahhh..und in IR und C gilt - wegen der Vollständigkeit - auch die Umkehrung
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