Mit elften Einheitswurzeln, Wurzeln von Zahl berechnen

25.08.2011, 17:12

Mathenull2506

Mit elften Einheitswurzeln, Wurzeln von Zahl berechnen

Hallo,

ich weiß einfach nicht, wie ich mit dieser Aufgabe umgehen soll:

Gegeben seine die Einheitswurzeln 1,....,11. Bestimmen Sie damit die elften Wurzeln von c=2048

Ich hab leider noch nie in irgendeiner Form mit Einheitswurzeln gerechnet und habe mich eben mal im Internet schlau gemacht, was Einheitswurzeln überhaupt sind. Also Zahlen, deren n-te Potenz die Zahl 1 ergibt, werden n-te Einheitswurzeln genannt.

Aber wie berechne ich denn nun die Aufgabe, wirklich gar keine Ahnung was ich machen soll. unglücklich

Danke für die Hilfe!

25.08.2011, 17:38

tmo

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Erstmal solltest du erkennen, dass $\begin{eqnarray*} 2048 = 2^{11} \end{eqnarray*}$ ist.

Danach formst du mal die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{11} = 2048 \end{eqnarray*}$ so um, dass auf der rechten Seite die 1 steht.

25.08.2011, 17:54

Mathenull2506

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ok also $\begin{eqnarray*} z=\sqrt[11]{2048} \end{eqnarray*}$ richtig?
das wäre ja dann wie du sagst die =2 oder nicht?

25.08.2011, 17:57

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Danach formst du mal die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{11} = 2048 \end{eqnarray*}$ so um, dass auf der rechten Seite die 1 steht.

Das habe ich nicht umsonst geschrieben. Du bist gar nicht darauf eingegangen.

Deine Lösung ist so nicht richtig, denn es gibt doch im Komplexen 11 Lösungen einer Gleichung 11ten Gerades.

25.08.2011, 18:03

Mathenull2506

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Hm und wie mache ich jetzt weiter? Hat das dann was mit : $\begin{eqnarray*} x_{k}= e^{\frac{i*\alpha *2k\pi }{n} } \end{eqnarray*}$ zu tun?

25.08.2011, 18:06

Mathenull2506

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bzw.
$\begin{eqnarray*} x_{k}=\sqrt[n]{r} e^{\frac{i*\alpha *2k\pi }{n} } \end{eqnarray*}$

25.08.2011, 18:13

Mathenull2506

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wie soll ich denn auf die rechte seite ne 1 bekommen?
$\begin{eqnarray*} z^{11}=2048 \Rightarrow \frac{z^{11}}{2048}=1 \end{eqnarray*}$

25.08.2011, 19:10

Elvis

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... und jetzt $\begin{eqnarray*} 2048 =2^{11} \end{eqnarray*}$ benutzen ... und dann Potenzgesetz ... usw.

25.08.2011, 19:27

Mathenull2506

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ok dann ist z=2... das ist doch dann aber nicht meine endgültige lösung oder?

26.08.2011, 08:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathenull2506
bzw.
$\begin{eqnarray*} x_{k}=\sqrt[n]{r} e^{\frac{i*\alpha *2k\pi }{n} } \end{eqnarray*}$

Wenn du hier n=11 und r=2048 einsetzt, bist du fast am Ziel. Du brauchst dir nur noch über den Winkel alpha Gedanken machen.

27.08.2011, 11:22

Elvis

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Zitat:

Original von Mathenull2506
ok dann ist z=2... das ist doch dann aber nicht meine endgültige lösung oder?

Erstaunlich, wie unterschiedlich Menschen denken können. Für mich war klar $\begin{eqnarray*} (\frac z 2)^{11}=1\Rightarrow \frac z 2 \end{eqnarray*}$ ist eine 11. Einheitswurzel, und die 11 11. Einheitswurzeln sind vollständig bekannt, und z ist das 2-fache.

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