Q(pi) isomorph zu Q(pi^2).

25.08.2011, 18:22

Hamsterchen

Q(pi) isomorph zu Q(pi^2).

Hi, könnte mir jemand kurz erläutern, wieso $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\pi)\cong\mathbb Q(\pi^2) \end{eqnarray*}$ gilt? In der lösung steht nur, weil $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi^2 \end{eqnarray*}$ beide transzendent über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind. Bräuchte nur ne kleine Erklärung, danke.

LG
Hamsterchen

25.08.2011, 18:54

jester.

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Man kann sich beispielsweise überlegen, dass für ein über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ transzendentes Element $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\tau) \end{eqnarray*}$ ist isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(X) \end{eqnarray*}$ , dem Körper der rationalen Funktionen in der unbestimmten $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .
Das liefert die Behauptung.

25.08.2011, 19:37

Hamsterchen

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weil man dann $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ in das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ einsetzt und damit den selben körper erhält? und das kann man dann mit jedem transzendenten element machen?

25.08.2011, 22:00

jester.

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Zitat:

und damit den selben körper erhält?

Man erhält, um genau zu sein, einen isomorphen Körper. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(X) \to \mathbb{Q}(\tau), ~ \frac{p(X)}{q(X)} \mapsto \frac { p(\tau) } {q(\tau)} \end{eqnarray*}$ ist der entsprechende Isomorphismus (Injektivität ist klar, Surjektivität mit kurzer Überlegung auch; dass man einen Homomorphismus vorliegen hat, erkennt man, wenn man weiß, dass Einsetzen ein Homomorphismus ist).

25.08.2011, 22:03

Hamsterchen

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ok vielen dank für deine erläuterung.

lg und gute nacht
hamsterchen

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Q(pi) isomorph zu Q(pi^2).

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