Grenzwertsätze

25.08.2011, 22:56

Cheftheoretiker

Grenzwertsätze

Hallo,

ich soll von folgender Folge den Grenzwert bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{2n}{n+12}} \end{eqnarray*}$

Ich würde folgendermaßen vorgehen.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{2n}{n+12}}=\frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{2}\cdot\lim\limits_{n \rightarrow \infty}n}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}n+\lim\limits_{n \rightarrow \infty}12}=\frac{2*\infty}{\infty+12} \end{eqnarray*}$

Bloß unendlich ist doch keine reelle Zahl. Was mache ich denn nun? Forum Kloppe

25.08.2011, 23:00

Grouser

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RE: Grenzwertsätze
Du machst bei all diesen Aufgaben immer denselben Fehler. Den Limes durch eine Zahl zu ersetzen geht nur, wenn dieser Grenzwert auch existiert. Bei "unendlich" geht das einfach nicht.

Auch das einzelne Bildung von Grenzwerten ist zwar hier ok, im Allgemeinen aber nicht. Das solltest du dir abgewöhnen.

Klammer mal $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus Zähler und Nenner aus, kürze und betrachte dann den Grenzwert.

25.08.2011, 23:07

Cheftheoretiker

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RE: Grenzwertsätze

Zitat:

Original von Grouser
Du machst bei all diesen Aufgaben immer denselben Fehler.

Das ist doch die erste Aufgabe die ich hierzu stelle?! verwirrt

Zitat:

Den Limes durch eine Zahl zu ersetzen geht nur, wenn dieser Grenzwert auch existiert. Bei "unendlich" geht das einfach nicht.

Du meinst den letzten Schritt? Weil ich dachte man darf nach den Grenzwertsätzen sowohl Zähler als auch Nenner einzeln betrachten.

Zitat:

Auch das einzelne Bildung von Grenzwerten ist zwar hier ok, im Allgemeinen aber nicht. Das solltest du dir abgewöhnen.

Ich dachte das wären die Grenzwertsätze? verwirrt

Zitat:

Klammer mal $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus Zähler und Nenner aus, kürze und betrachte dann den Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{2n}{n+12}}=\frac{2n}{n(1+\frac{12}{n})}=\frac{2}{1+\frac{12}{n}} \end{eqnarray*}$
Jetzt darf ich die Grenzwerte von Zähler und Nenner wieder betrachten? Forum Kloppe

Schonmal danke! smile

25.08.2011, 23:15

Grouser

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Jap, jetzt kannst du den Limes wieder betrachten und sieht das Ergebnis eigentlich direkt.

Und zu dem ersten Zitat: Mag sein, dass ich dich verwechsle, mein Namensgedächtnis ist grottig.

Zähler und Nenner einzeln betrachten geht nur, wenn die Grenzwerte jeweils existieren wie du an diesem Beispiel schön siehst.

Genau das selbe gilt beim einsetzen des Limes... Das ist nur ok, wenn die Grenzwerte existieren - unendlich ist kein Grenzwert.

25.08.2011, 23:20

Cheftheoretiker

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Ja okay.
Also geht es dann folgendermaßen weiter.
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{2n}{n+12}}=\frac{2n}{n(1+\frac{12}{n})}=\frac{2}{1+\frac{12}{n}}=\frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}2}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}1+\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}}=\frac{2}{1+0}=2 \end{eqnarray*}$

Ist das nun formal korrekt? smile

25.08.2011, 23:26

Grouser

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Formal korrekt ist das nicht - der Grenzwert stimmt allerdings.

Schreibe es so:

$\begin{eqnarray*} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{n+12} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{n(1+\frac{12}{n})} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{1+\frac{12}{n}} = 2 \end{eqnarray*}$ , wobei du den zweiten Schritt getrost weglassen kannst.

Den Limes aufzuteilen und einzeln zu betrachen ist im Allgemeinen gefährlich und bedarf einer Begründung warum dies gilt.
In diesem Fall gilt es tatsächlich, ist aber unnötig und unschön.

25.08.2011, 23:28

Cheftheoretiker

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Ja okay, aber wann darf ich denn genau die Grenzwertsätze benutzen?
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%...zwerts.C3.A4tze

verwirrt

25.08.2011, 23:30

Iorek

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[WS] Folgen

25.08.2011, 23:33

Grouser

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Zitat:

Original von hangman
Ja okay, aber wann darf ich denn genau die Grenzwertsätze benutzen?
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%...zwerts.C3.A4tze

verwirrt

Um noch etwas zu ergänzen: Die Grenzwertsätze hast du in deinem vorletzten Post korrekt verwendet. Du hast allerdings zwischendrin $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ einfach weggelassen. Außerdem solltest du zumindest solange du noch ungeübt bist stets begründen was du benutzt und eventuell auch noch warum du es nutzen darfst.

25.08.2011, 23:36

Cheftheoretiker

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Alles klar, vielen dank! Wink

26.08.2011, 00:02

Ibn Batuta

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Die Grenzwertsätze gilt es natürlich auch erstmal zu beweisen, bevor man sie verwendet.

Ibn Batuta

26.08.2011, 13:25

Cheftheoretiker

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Ich habe noch eine Aufgabe und zwar,

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{(-1)^n\cdot n^2}{n^2+1}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(-1)^n\cdot n^2}{n^2(1+\frac{1}{n^2})}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

In meinen Lösungen steht das der Grenzwert 1 ist. Allerdings weiß ich nicht wieso. Der Zähler ist doch unbestimmt divergent. Damit müsste doch auch der Ausdruck divergent sein? verwirrt

hangman!

26.08.2011, 13:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von hangman
In meinen Lösungen steht das der Grenzwert 1 ist.

Das ist falsch. Vielleicht ist die Aufgabe auch falsch abgeschrieben. Wie du selbst sagst, hat diese Folge keinen Grenzwert.

26.08.2011, 14:00

Cheftheoretiker

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Ich habe nochmal nachgeschaut. Die Lösung ist dann falsch angegeben worden.

Vielen dank! Wink

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