Rotationsmatrix und Vergleichbarkeit

26.08.2011, 10:16	qrk	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsmatrix und Vergleichbarkeit Hallo, ich habe drei Objekte, die sich die ganze Zeit drehen und zu allen drei Objekten die Rotationsmatrix in regelmäßigen Abständen. Jetzt möchte ich irgendwie feststellen wessen Drehung die Ähnlichste ist zu meinem Referenzobjekt. Gibt es irgendeine Möglichkeit Rotationsmatrizen zu vergleichen ohne dabei erst lange auf die Eulerwinkel zu rechnen? Ich wollte das ganze in Excel machen und vergleiche mehrere Tausend Matrizen. vielen Dank!
26.08.2011, 11:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Möchtest du die Lage zweier gedrehter Körper zu einem festen Zeitpunkt t vergleichen, also das statische Ergebnis zweier Drehungen? Oder willst du den zeitlichen Verlauf der Drehungen während eines Zeitintervalls [t1;t2] vergleichen? Im Extremfall könnten nämlich beide Körper nach Abschluss der Drehung wieder die gleiche Lage haben, obwohl der zeitliche Verlauf der Drehung vorher völlig unterschiedlich war.
26.08.2011, 11:28	qrk	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau ich möchte das statische Ergebnis vergleichen. Ich habe eine Tabelle mit den Zeitpunkten in Sekunden auf der einen Seite und die Übergangs-Rotationsmatrix zu jedem Körper auf der anderen Seite zu der jeweiligen Drehung zwischen den beiden Zeitpunkten. Nun möchte ich ein Ergebnis haben, das mir sagt, nach einer Sekunde weicht die Drehung von Objekt B um den Wert X von von Objekt A ab und die Drehung von Objekt C um den Wert. Anschließend werden alle Abweichungen aufaddiert und gemittelt um nach mehreren Minuten sagen zu können welchen Objekt mehr von der Referenzdrehung des Objektes A abgewichen ist. Falls jemand eine einfache Methode kennt wäre das super. Wie gesagt es sollte im Idealfall in Excel funktionieren und da kommt man schnell an Grenzen. Gruß
26.08.2011, 12:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekanntlich berechnet man den simplen Abstand A zweier Punkte $\begin{eqnarray} \vec x_1=(x_{11},x_{12},x_{13}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec x_2=(x_{21},x_{22},x_{23}) \end{eqnarray}$ im 3-dimensionalen Raum mit der Formel $\begin{eqnarray} A=\|\vec x_1-\vec x_2\|=\sqrt{(x_{11}-x_{21})^2+(x_{12}+x_{22})^2(x_{13}-x_{23})^2} \end{eqnarray}$ Anstelle der Punkte nimm einfach die Eulerschen Winkel-Vektoren $\begin{eqnarray} \vec \alpha_1=(\alpha_{11},\alpha_{12},\alpha_{13}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec \alpha_2=(\alpha_{21},\alpha_{22},\alpha_{23}) \end{eqnarray}$ . Deren "Abstand" ist ein Maß für die gegenseitige Verdrehung. Beachte aber die Periodiziät der Winkel, denn z.B. beschreiben die Vektoren (0°,0°,0°) und (360°;360°,360°) dieselbe Lage des Körpers, obwohl nach der obigen Formel ein Ergebis ungleich Null heraus käme. Um derartige Widersprüche zu vermeiden, benutze also nur äquivalente Winkel, die maximal 180° sind.
26.08.2011, 12:54	qrk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt schonmal so wie ich mir das auch gedacht habe super. Aber ganz klar ist es mir noch nciht. Also ich habe zum Beispiel $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}9.9999999975723\cdot%2010^{-1}%20&%201.0339999996834%20\cdot%2010^{-5}&%20-1.9457999991399\cdot%2010^{-5}\\-1.034043743855\cdot%2010^{-5}%20&%209.999999996938\cdot%2010^{-1}%20&%20-2.24813636264\cdot%2010^{-5}\\1.945776752814\cdot%2010^{-5}%20&%202.24815648252\cdot%2010^{-5}%20&%209.9999999955798\cdot%2010^{-1}\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Dann ist mein $\begin{eqnarray} \alpha_1 = \arccos (9.9999999955798) \end{eqnarray}$ und die anderen Alphas entsprechend auf der Diagonale oder habe ich das falsch verstanden? vielen Dank!
29.08.2011, 12:42	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst aus deiner Rotationsmatrix die 3 Eulerschen Winkel $\begin{eqnarray} \alpha_1, \alpha_2,\alpha_3 \end{eqnarray}$ bestimmen. Das will ich jetzt nicht tun, es ist aber relativ einfach. Wenn diese Winkel größer als 180° sind, musst du diese durch die äquivalenten Winkel ersetzen. Ist z.B. ein Winkel 500°, muss man diesen ersetzen durch 500°-360°=140° usw. Danach ist das Berechnen des "Abstandes" mit der genannten Formel einfach. Noch ein Hinweis: Bekanntlich kann man die Lage eines starren Körpers durch 3 Winkel eindeutig festlegen (wenn der Schwerpunkt fest ist). In der Kreiseltheorie nimmt man gern die Eulerschen Winkel. Es gibt aber auch beliebige ander Arten von Winkel-Tripeln, welche das gleiche leisten. Eigentlich müsste noch bewiesen werden, dass die Formel für den Abstand, die ich in meinem letzten Beitrag nannte, unabhängig von der Wahl der Winkel immer den gleichen Wert liefert.
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