Quadratische Form: Definitheit einer Matrix

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chell Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Form: Definitheit einer Matrix
Hallo,

ich habe hier folgende Matrix:



Ich soll herausfinden, für welches a € R die Matrix positiv bzw. negativ Defizit ist.

Mein Ansatz (ich glaube man soll hier mit der quadratischen Form argumentieren, da das zur Zeit Thema ist):

Die zugehörige quadratische Form lautet ja:



Bei symmetrischem Matrizen ist es ja so, dass diese positiv definit sind, falls die zugehörige quadratische Form für alle x € R^n größer als 0 ist.

Damit meine Matrix A nun positiv definit ist, muss diese quadratische Form also für > 0 sein, richtig?

Ich habe also folgende Ungleichung aufgestellt:



Das heißt wenn diese Ungleichung gilt, dann ist meine quadratische Form für
> 0 und meine Matrix damit positiv definit.

Analog würde ich dann für negativ definit vorgehen.

Ist das so richtig?
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix ist schon mal symmetrisch. Kann man hier nicht Satz von Sylvester anwenden? . Die Determinante von (1) ist größer Null; muss also nur noch die Determinante der gesamten Matrix größer Null sein.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Forme die quadratische Form so um:



So sieht man direkt für welche a die Matrix positiv definit ist.

Aber es geht viel einfacher: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann positiv definit, wenn Spur und Determinante positiv sind.
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Forme die quadratische Form so um:



So sieht man direkt für welche a die Matrix positiv definit ist.

Aber es geht viel einfacher: Eine symmetrische 2x2-Matrix ist genau dann positiv definit, wenn Spur und Determinante positiv sind.




ist immer größer als 0 (da quadriert wird).

Es muss also mein zweiter Summand auch größer als 0 sein. Da immer positiv ist, wird mein Summand nur kleiner 0, wenn , d.h. umgekehrt: soll gelten. Und das gilt für alle .

So korrekt?

Negativ definit wäre meine Matrix dann für alle .

Edit (jester): Latex repariert.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt noch eine Argumentation, warum die Matrix denn nicht auch für irgendein positiv definit ist.

Es könnte ja theoretisch sein, dass das 1. Quadrat immer so groß ist, dass es den negativen Teil, der sich dann durch ergibt, aufhebt.
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

also ich weiß, dass die Matrix für positiv definit ist. Denn bei a = 1 wird der rechte Summand 0 und da der linke immer positiv ist, ist mein Gesamtausdruck positiv.

Damit die quadratische Form negativ (und die Matrix damit negativ definit wird), muss:



gelten. (Der rechte Summand muss negativ und betragsmäßig größer als der linke sein)

Muss ich das nun einfach nach a umstellen?

Also negativ definit wenn:


und positiv definit für

?
 
 
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir das noch mal angeschaut und meine, dass das jetzt so stimmen müsste, oder?

Bei a >= 1 kann ich ja definitiv sagen, dass der rechte Summand >=0 ist und damit der Gesamtausdruck > 0 => Matrix positiv definit.

Damit der Gesamtausdruck negativ wird muss der Betrag des negativen rechten Summanden größer sein als der des linken und das habe ich doch auch richtig ausgedrückt oder?
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