Ableitung des Logarithmus Dualis

26.08.2011, 11:33

dj_mathe

Ableitung des Logarithmus Dualis

Ich versuche
$\begin{eqnarray*} d/dt~\left(\frac{1}{3} log_{2}(\frac{1}{3t} ) +\frac{1}{6} log_{2}(\frac{1}{6(\frac{2}{3} -t)} )\right) =0 \end{eqnarray*}$
zu lösen. Das Ergbnis ist t=4/9 das weiß ich sicher. Aber ich habe Probleme den Ausdruck abzuleiten.

Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} d/dt~ log_{2}(t) = \frac{1}{t*ln(2)} \end{eqnarray*}$ ist?

Dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \frac{1}{3t*ln(2)} + \frac{1}{6} \frac{1}{\frac{1}{6(\frac{2}{3} -t)}*ln(2)}=0 \end{eqnarray*}$

Aber von da nicht aufs richtige Ergebnis

Christoph

26.08.2011, 12:13

Helferlein

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RE: Ableitung des Logarithmus Dualis

Zitat:

Original von dj_mathe
Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} d/dt~ log_{2}(t) = \frac{1}{t*ln(2)} \end{eqnarray*}$ ist?

Das stimmt soweit

Zitat:

Dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \frac{1}{3t*ln(2)} + \frac{1}{6} \frac{1}{\frac{1}{6(\frac{2}{3} -t)}*ln(2)}=0 \end{eqnarray*}$

Und das dann schon nicht mehr.
Beachte, dass dein Argument beim ersten Logarithmus nicht 3t sondern $\begin{eqnarray*} \frac 1{3t} \end{eqnarray*}$ ist (beim zweiten entsprechend).

Einfacher wäre vermutlich das Ausnutzen von Logarithmengesetzen:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac 13 log_{2}(\frac 1{3t} ) + \frac 16 log_{2}(\frac{1}{6(\frac 23 -t)} )\right) <br /> = - ~\left(\frac 13 log_{2}(3t) +\frac 16 log_{2}(6(\frac 23 -t))\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =- ~\frac 13 \left( (log_{2}(3)+log_{2}(t) \right) +\frac 16 \left(log_{2}(6)+log_{2}(\frac 23 -t)\right)<br /> =- ~\frac 13 log_{2}(3)-\frac 16 log_{2}(6) -\frac 13 log_{2}(t) -\frac 16 log_{2}\left(\frac 23 -t)\right)<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

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