Erstellung einer Ebene ....

26.06.2004, 22:53

aSmith

Erstellung einer Ebene ....

Hi zusammen

ich häng hier grad an so ner Vektoraufgabe und zwar lautet die Aufgabe so

Stellen Sie eine Ebene E2, die zur Ebene E1 den Abstand $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ hat und die x-Achse in größerer Entfernung zum Nullpunkt schneidet als die Ebene E1, in der Forma ax+by+cz=1 mit zu bestimmenden Koeffizienten a,b und c dar

E1 erfüllt 3x+4y+5z=30

kann mir jemand dabei weiterhelfen??

greetz

27.06.2004, 12:34

Mazze

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Zitat:

x-Achse in größerer Entfernung zum Nullpunkt schneidet als die Ebene E1

Optisch gesehn is das ding also *hinter* E1. Da ich mit der Koordinatenform nicht soviele erfahrung hab, würde ich die Gegebene Ebene erstmal in parameterform um Bauen. Dazu suchst du Dir drei Punkte die die Gleichung erfüllen, rest sollte bekannt sein.

Ich würde die Ebene paralell ansetzen da eine Paralelle ebene überall den gleichen abstand hat zu E1.

Jetzt wo du also 2 richtungsvektoren hast kannst du den Orthognal vektor mit betrag von 2 durch ein gleichunssystem erhalten

Seien dazu x,y,z die Komponenten des Orthogonal vektors und $\begin{align*} V_1,V_2 \end{align*}$ die richtungsvektoren.

Ansatz

$\begin{align*} V_1_1*x + V_1_2*y + V_1_3*z = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} V_2_1*x + V_2_2*y + V_3_3*z = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{2} <=> x^2 + y^2 + z^2 = 2 \end{align*}$

Du hast also 3 Gleichungen und 3 Unbekannte. Da sich die dritte Gleichung nicht so einfach umformen lässt ermittel den orthognalvektor erstmal über die ersten beiden gleichungen. Dann nimmst du folgenden Ansatz

$\begin{align*} x*\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{2} \end{align*}$
Du bestimmst also ein "reelles" vielfaches was den Betrag von wurzel 2 liefert. Mit dem x multiplizierst du dann deinen Orthogonalvektor und fertig .

Wenn du den Vektor hast musst du nur noch auf den ortsvektor von der Parameter darstellung Addieren/subtrahieren (die Koordinaten bedingung soll ja auch erfüllt sein). Die richtungsvektoren bleiben ja gleich wegen paralellität.

Dann formst du diese Parametergleichung wieder in koordinatenform um und fertig.

Eine Frage dAzu (an alle)

Gibt es eine Möglichkeit den Abstand zweier Ebenen über die Koordinatenform zu bekommen? Das würde den Rechenweg stark verkürzen.

01.09.2004, 19:27

riwe

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klar, bring beide ebenen auf die HNF, dann kannst du den abstand direkt ablesen
werner

03.09.2004, 01:30

mYthos

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In der HNF (Hesse'sche Normalform) stellt das absolute Glied den Abstand des Nullpunktes von der Ebene dar; bei zwei (parallelen) Ebenen sind diese Abstände - je nachdem auf welcher Seite diese vom Nullpunkt liegen (darüber entscheidet das Vorzeichen) - zu addieren oder subtrahieren.

$\begin{eqnarray*} 3x + 4y + 5z - 30 = 0\ |\ : \sqrt{50}\ bzw. : \ \ 5*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{5*\sqrt{2}} + \frac{4y}{5*\sqrt{2}} + \frac{5z}{5*\sqrt{2}} - 3*\sqrt{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Die beiden nun möglichen parallelen Ebenen im Abstand $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ heissen

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{5*\sqrt{2}} + \frac{4y}{5*\sqrt{2}} + \frac{5z}{5*\sqrt{2}} - 2*\sqrt{2} = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{3x}{5*\sqrt{2}} + \frac{4y}{5*\sqrt{2}} + \frac{5z}{5*\sqrt{2}} - 4*\sqrt{2} = 0 \end{eqnarray*}$

bzw. nach dem Multiplizieren mit dem Nenner $\begin{eqnarray*} \ 5*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

3x + 4y + 5z - 20 = 0 und 3x + 4y + 5z - 40 = 0

Jetzt brauchst du nur noch die passende Ebene aussuchen ...

Gr
mYthos

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