AWP - eindeutige Lösung

26.08.2011, 12:46

Gast11022013

AWP - eindeutige Lösung

Meine Frage:
Man zeige:

Jedes Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} y'=\sin(ty), y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ besitzt eine eindeutige Lösung auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Tipp: Picard-Lindelöf/ Mittelwertsatz/ Fortsetzen

Meine Ideen:
So, wie ich den Tipp verstehe, soll man so vorgehen:

1.) Mit dem Satz von Picard-Lindelöf zeigen, dass es eine eindeutige Lösung auf einem Intervall $\begin{eqnarray*} [t_0-n,t_0+n] \end{eqnarray*}$ gibt. Dazu ist die Lipschitz-Stetigkeit bzgl. der 2. Komponente mit Hilfe des Mittelwertsatzes zu zeigen.

2.) Zeigen, dass man die eindeutige Lösung auf dem obigen Intervall auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ fortsetzen kann.

Zu 1.)

Betrachte $\begin{eqnarray*} I_n:=[t_0-n,t_0+n] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vert t\vert\leq c_n\forall t\in I_n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt mit dem Mittelwertsatz:

$\begin{eqnarray*} \Vert f(t,y)-f(t,v)\Vert=\Vert \sin(ty)-\sin(tv)\Vert=\Vert \cos(\kappa)-t(y-v)\Vert\leq\Vert t\Vert\Vert y-v\Vert\leq c_n\Vert y-v\Vert \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} ty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} tv \end{eqnarray*}$ )

Alle weiteren Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf sind ohnehin erfüllt, also folgt mit diesem Satz auch bereits, dass es eine eindeutige Lösung auf $\begin{eqnarray*} [t_0-n,t_0+n] \end{eqnarray*}$ gibt.

Zu 2.)

Doch wie zeige ich denn nun, dass diese eindeutige Lösung auf $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ fortgesetzt werden kann?

Ich freue mich auf eine Hilfe!

LG

Edit:

Oder ist das mit dem Fortsetzen so gemeint:

Auf einem anderen Intervall, z.B. $\begin{eqnarray*} [t_0-m,t_0+m], m>n \end{eqnarray*}$ existiert ja wieder eine eindeutige Lösung, heiße diese $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} w|_{I_n}=y \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die eindeutige Lösung auf $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ bezeichnen soll.

Und wenn man alles "aneinanderstückelt", hat man EINE eindeutige Lösung auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Muss man aber dann bestimmt alles zeigen - wie?

26.08.2011, 22:04

gonnabphd

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Zitat:

Oder ist das mit dem Fortsetzen so gemeint:

Auf einem anderen Intervall, z.B. $\begin{eqnarray*} [t_0-m,t_0+m], m>n \end{eqnarray*}$ existiert ja wieder eine eindeutige Lösung, heiße diese $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} w|_{I_n}=y \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die eindeutige Lösung auf $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ bezeichnen soll.

Und wenn man alles "aneinanderstückelt", hat man EINE eindeutige Lösung auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Muss man aber dann bestimmt alles zeigen - wie?

Genau so ist das gemeint. Mit 1) hast du ja zu jedem $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} y_n: I_n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst du einfach für gegebens $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein n finden so dass $\begin{eqnarray*} x\in (t_0-n, t_0+n) \end{eqnarray*}$ . Und dann definierst du die neue Funktion an der Stelle x über $\begin{eqnarray*} y(x) := y_n(x) \end{eqnarray*}$ .

Nachzuweisen ist nun noch, dass y wohldefiniert ist (d.h. y(x) hängt oben nicht von der Wahl von n ab) und dass y die eindeutige Lösung ist, welche auf ganz IR definiert ist.

27.08.2011, 11:20

Gast11022013

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Zitat:

Original von gonnabphd
Nachzuweisen ist nun noch, dass y wohldefiniert ist (d.h. y(x) hängt oben nicht von der Wahl von n ab) und [...]

Wenn man ein anderes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wählt, ändert das ja nichts an der Definition; aber wie man das exakt mathematisch zeigen kann, weiß ich nicht.

Edit:

Achso, ich habe doch eine Idee: Mal angenommen, man hätte jetzt ein $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ bei der Definition gewählt. Dann wäre ja $\begin{eqnarray*} x\in I_n\subset I_m \end{eqnarray*}$ und da es ja nach dem Satz von Picard-Lindelöf auf $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ ebenso eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems gibt, muss ja gelten $\begin{eqnarray*} y_n(x)=y_m(x) \end{eqnarray*}$ .

Ebenso, wenn man ein Lösungsintervall gewählt hätte, das in $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ enthalten wäre, beispielsweise also $\begin{eqnarray*} x\in I_k\subset I_n \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} k<n \end{eqnarray*}$ . Dann würde mit der gleichen Begründung gelten, daß $\begin{eqnarray*} y_k(x)=y_n(x) \end{eqnarray*}$ .

Mit anderen Worten: Die ursprüngliche Definition $\begin{eqnarray*} y(x):=y_n(x) \end{eqnarray*}$ hängt nicht von dem speziellen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab, d.h. ist wohldefiniert.

Zitat:

Original von gonnabphd
[...] dass y die eindeutige Lösung ist, welche auf ganz IR definiert ist.

Vielleicht dieser Ansatz:

Es sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{J} \end{eqnarray*}$ die Menge aller Intervalle, auf denen das Anfangswertproblem eine Lösung besitzt und $\begin{eqnarray*} I_{max}=\bigcup_{J\in\mathcal{J}}J \end{eqnarray*}$ .

[Es ist zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} I_{max}=\mathbb R \end{eqnarray*}$ .]

Dann ist $\begin{eqnarray*} I_{max} \end{eqnarray*}$ ein Intervall; setze $\begin{eqnarray*} a=\inf I_{max}, b=\sup I_{max} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt zeigen kann, daß $\begin{eqnarray*} a,b\notin I_{max} \end{eqnarray*}$ , hat man nicht dann das Gewünschte gezeigt?

27.08.2011, 13:34

gonnabphd

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Ich verstehe nicht so ganz. Du hast ja oben schon eine Funktion y definiert, welche die Lösung "sein muss" (das ist nachzuweisen). Und y ist auf ganz IR definiert.

D.h. wenn du zeigst, dass y das AWP löst, dann weisst du automatisch schon, dass $\begin{eqnarray*} I_{max} = \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt.

Also gibt es zwei Dinge zu tun: Nachweisen, dass

y eine Lösung ist
jede andere Lösung $\begin{eqnarray*} \tilde y: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit y übereinstimmt, d.h. y die einzige Lösung ist

Beides ist wirklich nicht schwer und folgt ziemlich direkt daraus, wie y definiert wurde (das einzige kritische war eigentlich, dass y wohldefiniert ist) und aus den korrespondierenden Fakten über die lokalen Lösungen $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ .

27.08.2011, 13:40

Gast11022013

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Da Du Dich dazu nicht geäußert hast, gehe ich davon aus, daß ich die Wohldefiniertheit korrekt gezeigt habe.

Zitat:

Original von gonnabphd
Also gibt es zwei Dinge zu tun: Nachweisen, dass

y eine Lösung ist
jede andere Lösung $\begin{eqnarray*} \tilde y: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit y übereinstimmt, d.h. y die einzige Lösung ist

Daß $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eine Lösung ist, folgt doch einfach daraus, dass die $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ Lösungen (auf den jeweils zugehörigen Lösungsintervallen) sind.

Kann man das so einfach sagen?

Und dass jede andere Lösung mit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ übereinstimmt, folgt doch daraus, dass die $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ auf ihren jeweiligen Lösungsintervallen eindeutig sind (nach dem Satz von Picard-Lindelöf).

27.08.2011, 14:33

gonnabphd

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Zitat:

Kann man das so einfach sagen?

Kommt immer darauf an, wieviel Verständnis dir der Aufgabensteller zutraut (mal davon abgesehen, dass du es selbst natürlich verstanden haben musst).

Wenn du jeden kleinen logischen Schritt angeben solltest, dann ist das natürlich nicht ausreichend. z.B. weshalb ist y überhaupt differenzierbar (muss ja nicht unbedingt so sein, da man y bloss aneinandergestückelt definiert hat)?

Aber eben. Wenn du eigentlich keine Mühe hättest, Fragen dieser Art zu beantworten, dann kann man sich die genauen Details von Beweisen durchaus schenken, imho. (Allerdings sehen das viele Korrektoren und Prüfer nicht unbedingt so wie ich).

Das Allerwichtigste ist wahrscheinlich, dass du dir jederzeit über alles im klaren bist und nicht "offensichtliches", "triviales" etc. als gleichwertig zu "Ich weiss jetzt nicht genau, wieso das so ist, aber es scheint irgendwie logisch" behandelst. Dann kann dir eigentlich nichts passieren in z.B. einer mündlichen Prüfung (wenn der Prüfer dir nicht zutraut, dass du so viele Schritte einfach überspringen kannst, wird er halt nochmal nachfragen).

27.08.2011, 14:54

Gast11022013

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Hm, da muss ich wohl kleinlaut zugeben, daß mir solche Fragen durchaus nicht zwangsläufig klar sind.

Die Frage, warum y differenzierbar ist, ist zum Beispiel eine, die ich nicht so ohne Weiteres beantworten könnte...

Mal überlegen: y setzt sich zusammen aus den Lösungen, die jeweils auf den zugehörigen Lösungsintervallen gelten.

Hm...

Edit:

Ich hätte jetzt einfach ganz blöd gesagt: Weil doch die $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ alle differenzierbar sind...

27.08.2011, 15:26

gonnabphd

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Zitat:

Ich hätte jetzt einfach ganz blöd gesagt: Weil doch die $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ alle differenzierbar sind...

Das stimmt schon, aber eigentlich müsstest du es z.B. auch in einer Form beweisen können, welche ein Erstsemestler verstehen könnte.

z.B.:

Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig. Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist. Wähle $\begin{eqnarray*} n \in\mathbb N \end{eqnarray*}$ so gross, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \in (t_0 - n, t_0+n) \end{eqnarray*}$ . Ist nun $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit $\begin{eqnarray*} x_i\to x_0 \end{eqnarray*}$ , dann muss für fast alle i gelten: $\begin{eqnarray*} x_i\in (t_0 - n, t_0+n) \end{eqnarray*}$ . Folglich

$\begin{eqnarray*} \lim_{i\to\infty}\frac{y(x_i) - y(x_0)}{x_i - x_0} = \lim_{i\to\infty}\frac{y_n(x_i) - y_n(x_0)}{x_i-x_0} = y_n'(x_0) \end{eqnarray*}$

Also ist y in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} y'(x_0) = y_n'(x_0) \end{eqnarray*}$

Natürlich macht man das nicht so ausführlich in der Praxis, aber das nur (jedenfalls habe ich das persönlich bisher so verstanden), weil man eigentlich davon ausgeht, dass jeder Beteiligte (e.g. Leser des Buches, Hörer der Vorlesung) diese Schritte prinzipiell für sich selber ausführen könnte.

Dies ist aber nur mein Verständnis davon, weshalb man, je tiefer man in die Mathe eindringt, viel schlampigere Beweise führen darf - und ich bin mir nicht so ganz sicher, wie realitätsnahe oder -fern diese Einstellung tatsächlich ist. Aber zumindest bei den Grundbegriffen aus der Analysis sollte das schon noch machbar sein, die Lücken auszufüllen.

27.08.2011, 15:43

Gast11022013

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Besten Dank!

Wink

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