positiv definter Endomorphismus

26.08.2011, 16:24	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
positiv definter Endomorphismus Meine Frage: Hallo, ich habe ein Frage zu folgendem! Sei ein Endomorphismus f positiv definit, dann gilt doch: $\begin{eqnarray} <v,f(v)> \geq 0 \end{eqnarray}$ , so dann ist dieser Endomorphismus f aber auch injektiv, denn: Sei f nicht injektiv, dann gibt's ein $\begin{eqnarray} v \neq 0 \in V \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} f(v) = 0 \end{eqnarray}$ ist, dann folgt aber: $\begin{eqnarray} <v,f(v)> = 0 \end{eqnarray}$ , was ein Widerspruch zur positiven Definitheit darstellt. Ist V aber nun endlich dimensional, dann ist doch die Injektivität äquivalent zur Subjektivität, dann ist aber das f auch bijektiv und so ist f auch invertierbar! Ich schließe also, dass wenn $\begin{eqnarray} f \in End(V) \end{eqnarray}$ positiv definit ist, dass dann f auch invertierbar ist! Und dies kann ich ja auch auf quadratische Matrizen übertrage, also eine quadratische Matrix ist positiv definit, so ist sie auch invertierbar! Meine Ideen: Stimmen die Aussagen oder ist da was falsch?? Danke
27.08.2011, 12:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: positiv definter Endomorphismus Hallo stevie, Auch wenn ich positiv definite Endomorphismen bisher noch nicht gekannt habe, so ist der Rest Deiner Argumentation schlüssig. Dazu sollte es in der Definition aber $\begin{eqnarray} \langle v,f(v)\rangle > 0 \end{eqnarray}$ gefordert sein und nicht $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ . (Skalarprodukt schreibt man standardmäßig übrigens mit \langle und \rangle) btw.: Es heißt Surjektiv - nicht Subjektiv Gruß, Reksilat.
27.08.2011, 18:03	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: positiv definter Endomorphismus oh kleiner Tipfehler im Eifer des Gefechts! Danke für die Zustimmung und für den Latex-Tip! Stevie

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