Vorgehen ermitteln einer Lösungsmengege für ein GLS

26.08.2011, 20:18

DougFireFly

Vorgehen ermitteln einer Lösungsmengege für ein GLS

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe die ich leider nicht gelöst bekomme.
Vermutlich fehlt mir ein Gedanke bzw. eine Idee zum Lösen.

die Aufgabe sieht wie folgt aus :
Mann bestimme (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} ax_1 + 4x_2 + ax_3 = 1\\ 0x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 3\\ 2x_1 +ax_2 +6x_3 = 4 \end{eqnarray*}$
Bis jetzt bin ich wie folgt vorgegangen:

Um das GLS zu lösen möchte ich die Gauss Methode anwenden und das GLS Trapezförmig haben. Dazu schreibe ich das GLS als Erweiterte Koeffizientenmatrix auf und vertausche die I mit der III Zeile:
Schritt 1)

$\begin{eqnarray*} 2x_1 +ax_2 +6x_3 = 4 \\ 0x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 3 \\ ax_1 + 4x_2 + ax_3 = 1 \mid \textnormal{III + (2)II}\\ \end{eqnarray*}$

Schritt 2)
$\begin{eqnarray*} 2x_1 +ax_2 +6x_3 = 4 \\ 0x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 3 \mid \textnormal{+(-}\frac{4}{6} \textnormal{)I}\\ ax_1 + 0x_2 +( 8+ax_3) = 1 \\ \end{eqnarray*}$

Schritt 3)
$\begin{eqnarray*} 2x_1 +ax_2 +6x_3 = 4 \\ 0x_1 - \frac{4}{6}-2+ 0x_3 = \frac{1}{3} \\ ax_1 + 0x_2 + 8+ax_3 = 1 \\ \end{eqnarray*}$

Aus dem Ergebnis des Schritt 3 ergibt sich die Lösung für x_2:

$\begin{eqnarray*} \frac{-4}{6}-2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x_2 = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{-4}{6}-2} \end{eqnarray*}$
Hier habe ich nun ein Problem, zumindest weiß ich nicht genau weiter.
Ich hatte überlegt das Ergebnis von x2 nun in die erste Zeile einzusetzten um dann
weiter zu machen. Doch passt das ja eigentlich nicht mit Gauß überein, da nach dem dritten Schritt noch keine Trapexform / Obermatrix vorliegen habe.

Habe ich vielleicht Möglichkeit übersehen um das a in x1 in der Zeile 3 zu entfernen ?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe
Grüße
Duckfirefly

26.08.2011, 21:27

mYthos

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RE: Vorgehen ermitteln einer Lösungsmengege für ein GLS

Zitat:

Original von DougFireFly
...
Schritt 2)
$\begin{eqnarray*} 2x_1 +ax_2 +6x_3 = 4 \\ 0x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 3 \mid \textnormal{+(-}\frac{4}{6} \textnormal{)I}\\ ax_1 + 0x_2 +( 8+ax_3) = 1 \\ \end{eqnarray*}$
...

Ab hier ist es bereits falsch ...
_______________

Noch eine Bemerkung:
Auch eine Fallunterscheidung für Werte von a hinsichtlich der Existenz von Lösungen wird notwendig sein.

mY+

27.08.2011, 06:58

DougFireFly

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Guter Hinweis, die Fallunterscheidung für a macht Sinn, vermutlich gibt es Konstellationen in denen a einen Wert einnimmt, der die Gleichung unlösbar macht.

Müsste ich im zweiten Schritt erst versuchen das a in der Zeile III zu entfernen,
und wenn ja, wie gehe ich dabei vor.?
Spontan würde mich einfallen :

$\begin{eqnarray*} a + 0 +(8+a) = 7 \mid -a \\ \Rightarrow 0 -a +8 = 7-a \end{eqnarray*}$
Dadurch wäre alles unterhalb der Zeile I für x1 gleich 0
Wobei ich das Gefühl habe, das mich das nicht wirklich weiterbringt
Denn nun verschiebt sich das a auf x2

$\begin{eqnarray*} 2 +a +6 = 4 \\ 0 -2 +4 = 3 \\ 0 -a +8 = 7-a \\ \end{eqnarray*}$

[nachtrag]
Ich habe das mal weiter gerechnet, unter der Annahme, das meine Idee korrekt wäre.
Dann würde es wie folgt weiter gehen

$\begin{eqnarray*} 2 +a +6 = 4 \\ 0 -2 +4 = 3 \\ 0 -a + 8 = 7-a \mid + (-2)II \\ 2 +a +6 = 4 \\ 0 -2 +4 = 3 \\ 0 +(4-a) + 0 = 1-a \end{eqnarray*}$
Im Nächsten Schritt könnte ich das a in der III Zeile "verlieren" durch +(-1) I Zeile.
Bin ich damit in etwa auf dem richtigen Weg ?

Grüße
DougFireFly

28.08.2011, 12:01

mYthos

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Die Fallunterscheidung für a muss schon während der Matrixumformung oder bei der "konventionellen" Berechnung durchgeführt werden. Deswegen kann ich deine Rechnung nicht nachvollziehen, weil dies bei dir so nicht ersichtlich ist.

Alternativ können auch mittels der Determinante der Koeffizientenmatrix die kritischen Stellen für a herausgefunden werden, wenn man diese Determinante Null setzt.

Bei richtiger Rechnung solltest du beispielsweise auf so etwas wie

$\begin{eqnarray*} (a^2 + 2a - 8) x_2 = (a - 2) \end{eqnarray*}$

kommen.
Darin liegt bereits der Schlüssel für die Fallunterscheidungen (Tipp: Zerlege das Trinom entsprechend) und dann auch im Weiteren für die Lösungen.

mY+

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