Bestimmtes Integral sin(x)exp(-cx^2)

27.08.2011, 12:20

kommando_pimperlepim

Bestimmtes Integral sin(x)exp(-cx^2)

Ich versuche, das bestimmte Integral

$\begin{eqnarray*} J(c):=\int_0 ^\infty dx \sin(x) e^{-cx^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ zu lösen. Substitution ist mir keine passende eingefallen. Mittels partieller Integration habe ich immerhin herausbekommen, dass das Integral der Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} 1+(2c-1)J(c)+4c^2 J'(c)=0 \end{eqnarray*}$

genügen muss. Aber da komme ich auch nicht weiter. Weiß jemand einen besseren Weg oder einen Tipp?

04.09.2011, 21:12

weisbrot

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RE: Bestimmtes Integral sin(x)exp(-cx^2)
wie wärs damit:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^{-cx^{2}}\sin(x) \, dx=-e^{-cx^{2}}cos(x)-2cx\int \! e^{-cx^{2}}\cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-e^{-cx^{2}}cos(x)-2cx(e^{-cx^{2}}\sin(x)-2cx\int \! e^{-cx^{2}}\sin(x) \, dx) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-e^{-cx^{2}}cos(x)-2cxe^{-cx^{2}}\sin(x)-4c^{2}x^{2}\int \! e^{-cx^{2}}\sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow (1+4c^{2}x^{2})\int \! e^{-cx^{2}}\sin(x) \, dx=-e^{-cx^{2}}(cos(x)-2cx\sin(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow \int \! e^{-cx^{2}}\sin(x) \, dx=\frac{-e^{-cx^{2}}(cos(x)-2cx\sin(x))}{1+4c^{2}x^{2}} \end{eqnarray*}$

lg

04.09.2011, 21:30

René Gruber

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Zitat:

Original von weisbrot
wie wärs damit:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^{-cx^{2}}\sin(x) \, dx=-e^{-cx^{2}}cos(x)-2cx\int \! e^{-cx^{2}}\cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

So geht's nicht - das x rechts gehört mit ins Integral, also

$\begin{eqnarray*} \int \! e^{-cx^{2}}\sin(x) \, dx=-e^{-cx^{2}}cos(x)-2c\int \! xe^{-cx^{2}}\cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

04.09.2011, 21:36

weisbrot

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ach du meine güte........naja ist schon spät, danke

24.09.2011, 18:55

kommando_pimperlepim

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Okay, da das Integral bisher nicht geknackt werden konnte, möchte ich nochmal höflich an diesen Thread erinnern. Weil mein Heißhunger auf gute Tipps oder eine elegante Lösung schon sehr groß ist, würde ich auch gerne eine Belohnung in Form eines postalisch zugesandten Bieres o. ä. anbieten. Prost

27.02.2013, 10:02

kommando_pimperlepim

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Nach 8 Jahren und der Vollstaendigkeit halber: Habe eine Loesung gefunden:

Siehe hier

(Und nein, ich habe in der Zwischenzeit auch andere Dinge getan Big Laugh

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