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27.08.2011, 14:43

IHC

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Hi leute,

Ich bin gerade dabei, mich auf einen Mathe-Test am Montag
vorzubereiten und bin dabei auf eine Aufgabe gestoßen, die
mir noch etwas Kopfschmerzen bereitet.

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{2n+4}{6n+7} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir diese Aufgabe einmal genauer anschaue, vermute
ich, dass der Grenzwert bei ungefähr $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ liegen
muss.

Dann muss ich meine Folge ja hier einsetzen,...

$\begin{eqnarray*} |a_{n} - a|<\epsilon \end{eqnarray*}$

... und komme auf das hier.

$\begin{eqnarray*} |\frac{2n+4}{6n+7}-\frac{1}{3}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Nun müsste ich ja eigentlich beide Brüche auf den selben Nenner
bringen, um weiter rechnen zu können, allerdings stoße ich hier an
meine Grenzen.

Kommen die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ dann in den Zähler?
Oder bin ich da etwas durcheinander?

mfg IHC

27.08.2011, 14:53

Helferlein

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Wie bestimmt man denn im allgemeinen gemeinsame Nenner?
Welche Bedingung muss ein gemeinsamer Nenner erfüllen?

Es ist einfacher, als Du vielleicht denkst Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2011, 14:56

Pustefix91

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Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} | \frac{2n+4}{6n+7} - \frac{1}{3} | = | \frac{3*(2n+4) - 6n+7}{3*(6n+7)} | =.... \end{eqnarray*}$ .

27.08.2011, 14:57

IHC

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Wenn da jetzt zum Beispiel statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ne 2 stehen
würde, müsste man die "1" im Nenner und die 2 im Zähler einfach mal
den Nenner vom ersten Bruch nehmen.

Aber wie gesagt, ich weis nicht, wie ich das hier machen soll.

Meine Idee:

Vllt. Zähler und Nenner der $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ mit dem
Nenner des ersten Bruches malnehmen.

27.08.2011, 14:58

IHC

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Zitat:

Original von Pustefix91
Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} | \frac{2n+4}{6n+7} - \frac{1}{3} | = | \frac{3*(2n+4) - 6n+7}{3*(6n+7)} | =.... \end{eqnarray*}$ .

Damit komme ich nun gar nicht zurecht.

27.08.2011, 15:06

Pustefix91

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Anderes Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4*1}{3*4} - \frac{3*1}{3*4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ .

Genau das gleiche habe ich bei deiner Aufgabe gemacht.

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27.08.2011, 15:08

IHC

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Also muss ich den Nenner vom ersten Bruch mit dem Kompletten
zweiten Bruch malnehmen?

27.08.2011, 15:13

Pustefix91

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Ja, und den Nenner vom zweiten Bruch mal den kompletten ersten Bruch. Sowas lernt man doch sonst in der 7ten Klasse... Scheinst gerade ein bisschen auf dem Schlauch zu stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

27.08.2011, 15:18

IHC

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Ja, das mach ich öfters. Hammer

Hammer

28.08.2011, 11:55

IHC

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So weit waren wir gekommen:

$\begin{eqnarray*} |\frac{2n+4}{6n+7}-\frac{1}{3}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Nun die beiden Brüche auf denselben Nenner bringen:

$\begin{eqnarray*} |\frac{3\cdot(2n+4)-6n+7}{3\cdot(6n+7)}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} |\frac{6n+12-6n+7}{18n+21}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{19}{18n+21}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Und jetzt komme ich wieder ins Stocken.
Kann ich die Betragsstriche wegfallen lassen?

mfg IHC

28.08.2011, 12:08

Mulder

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Zitat:

Original von IHC
Kann ich die Betragsstriche wegfallen lassen?

Schlag was vor. Darf man? Oder darf man nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.08.2011, 12:10

IHC

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Ich würde mal ja sagen, denn wenn ich $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ habe,
kann ich ja keine -1000000000000000 einsetzen und so kommt immer
was positives heraus.

Bin mir aber nicht so sehr sicher.

mfg IHC

28.08.2011, 12:11

Mulder

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Naja, entscheidend ist doch, dass du für n sowieso nur positive Werte einsetzen darfst. Ergo bleibt die linke Seite auch ohne Beträge gleich, ganz egal, was du für n einsetzt.

28.08.2011, 12:14

IHC

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Aha, dann muss ich jetzt nur noch nach n umstellen und fertig?

28.08.2011, 13:59

IHC

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Wäre mein weiteres Vorgehen korrekt?

$\begin{eqnarray*} \frac{19}{18n+21}<\epsilon /\cdot (18n+21) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 19<\epsilon \cdot (18n+21) / : \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{19}{\epsilon}<18n+21 /-21 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{19}{\epsilon}-21<18n / :18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n>\frac{1,055}{\epsilon}-\frac{21}{18} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_{0}=[\frac{1,055}{\epsilon}-\frac{21}{18}]+1 \end{eqnarray*}$

mfg IHC

28.08.2011, 15:36

IHC

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Kann mir niemand helfen?

traurig

traurig

28.08.2011, 15:38

Grouser

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Doch, doch. Sieht gut aus!

28.08.2011, 15:38

IHC

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Danke dir. Gott

Gott

mfg IHC

Wink

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