Basis des Vektorraums R^2 - Frage zur Musterlösung

27.08.2011, 16:11

Taladan

Basis des Vektorraums R^2 - Frage zur Musterlösung

Hallo,

ich verstehe gerade eine Musterlösung nicht. Frage ist, ob $\begin{eqnarray*} \left<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right> \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Antwort ist ist:
Falsch. Es ist $\begin{eqnarray*} \left<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right> = R^2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ enthält unendlich viele Elemente. Die Dimension von R 2 ist aber zwei, das heißt, jede Basis von R 2 hat genau zwei Elemente.

Aber das Erzeugendensystem hat doch zwei Elemente, die Elemente sind linear unabhängig und haben auch das Nullelement. Damit kann man doch jedes Element in R^2 erreichen. Was übersehe ich?

Gruß Marco

27.08.2011, 16:14

Cheftheoretiker

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RE: Basis des Vektorraums R^2 - Frage zur Musterlösung

Zitat:

ich verstehe gerade eine Musterlösung nicht. Frage ist, ob $\begin{eqnarray*} \left<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right> \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Ja! und zwar die Standardbasis.
http://de.wikipedia.org/wiki/Standardbasis

Das Kriterium für die Basis ist
1. Es muss ein Erzeugendensystem bilden.
2. Die Elemente müssen linear unabhängig sein.

Prüfe diese beiden Eigenschaften nach.

hangman! smile

27.08.2011, 16:18

Taladan

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RE: Basis des Vektorraums R^2 - Frage zur Musterlösung
Dann ist also die Musterlösung falsch.

27.08.2011, 16:19

Cheftheoretiker

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RE: Basis des Vektorraums R^2 - Frage zur Musterlösung
Ja!

hangman! Wink

27.08.2011, 16:22

Taladan

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RE: Basis des Vektorraums R^2 - Frage zur Musterlösung
Gut und danke. Ich dachte schon ich hätte alles wieder vergessen bzw nicht richtig verstanden.

27.08.2011, 16:39

Helferlein

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Nein, die Lösung ist richtig, denn da steht nichts von einer Menge.

Die eckigen Klammern stehen im allgemeinen für die lineare Hülle der Vektoren und das ist - wie es in der Lösung richtig steht - der komplette Raum, welcher wohl unbestritten keine Basis von sich selbst ist.

27.08.2011, 17:18

Taladan

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Zitat:

Original von Helferlein
Die eckigen Klammern stehen im allgemeinen für die lineare Hülle der Vektoren und das ist - wie es in der Lösung richtig steht - der komplette Raum, welcher wohl unbestritten keine Basis von sich selbst ist.

Ich glaube jetzt habe ich es. Ein Erzeugendensystem darf so genannt werden wenn es einen ganzen Vektorraum ausfüllt, wenn dies aber eine "Basis" macht, ist dies falsch, denn eine Basis muss immer eine Teilmenge aus einen Vektorraum sein. So richtig?

27.08.2011, 17:39

Cheftheoretiker

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Okay, danke für die Korrektur smile

hangman!

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