Ringe, Einselement, Abbildungen

27.08.2011, 16:53

Zeta-Funktion

Ringe, Einselement, Abbildungen

Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein nichttrivialer Ring mit Eins und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sei die Menge aller $\begin{eqnarray*} g \in R^\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(n) = 0 \end{eqnarray*}$ für fast alle, d. h. für alle bis auf endlich viele, $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein Unterring von $\begin{eqnarray*} R^\mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne Eins.

Mir ist alles außer dem Einselement klar.

Falls $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein Einselement haben würde, müsste gelten:
$\begin{eqnarray*} 1_\mathbb N * n = 1_R * g(n) \end{eqnarray*}$

Es gibt aber ein $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(n) = 0 \end{eqnarray*}$ , was mit der vorherigen Gleichung zu einem Widerspruch führt. Ist das richtig?

27.08.2011, 17:15

zweiundvierzig

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RE: Ringe, Einselement, Abbildungen

Zitat:

Original von Zeta-Funktion
Es gibt aber ein $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(n) = 0 \end{eqnarray*}$ , was mit der vorherigen Gleichung zu einem Widerspruch führt. Ist das richtig?

Was genau ist da jetzt Dein Widerspruch? Was soll $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sein?

Die Lösung ist ganz konkret: Das Einselement von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ müsste dasselbe wie das von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sein. Was ist das Einselement von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ? Warum liegt es nicht in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ?

27.08.2011, 17:43

Zeta-Funktion

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$\begin{eqnarray*} g \in R^\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist im Buch als eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ definiert. Mein Widerspruch in der Gleichung wäre, dass

$\begin{eqnarray*} 1_\mathbb N * n \neq 0 = id_S(n) * g(n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(n) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das Einselement in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist nicht in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ eine Menge von Abbildungen ist, während $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ die Identitätsabbildung nicht enthält.

28.08.2011, 00:30

Leopold

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Ich glaube nicht, daß du die Konstruktion von $\begin{eqnarray*} R^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ so richtig verstanden hast.

$\begin{eqnarray*} R^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ kannst du auffassen als Menge aller Folgen $\begin{eqnarray*} g = \left(g_0,g_1,g_2,\ldots \right) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} g_0,g_1,g_2,\ldots \in R \end{eqnarray*}$ sind. (Die Notation $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} g(n) \end{eqnarray*}$ empfinde ich als suggestiver.) Du kannst die $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ansehen als Abzählbar-Unendlich-Tupel über $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Damit aber $\begin{eqnarray*} R^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ein Ring wird, muß noch eine Addition und Multiplikation erklärt werden. Wenn nichts anderes gesagt wird, darf man wohl davon ausgehen, daß diese Operationen punktweise (koordinatenweise) auszuführen sind, für die Addition wäre das

$\begin{eqnarray*} g + h = \left( g_0,g_1,g_2,\ldots \right) + \left( h_0,h_1,h_2,\ldots \right) = \left( g_0 + h_0,g_1 + h_1,g_2 + h_2,\ldots \right) \end{eqnarray*}$

Das letzte Gleichheitszeichen ist die Definition der Addition in $\begin{eqnarray*} R^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ .

Und ganz entsprechend mit der Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} g \cdot h = \left( g_0,g_1,g_2,\ldots \right) \cdot \left( h_0,h_1,h_2,\ldots \right) = \left( g_0 \cdot h_0,g_1 \cdot h_1,g_2 \cdot h_2,\ldots \right) \end{eqnarray*}$

Daß nun $\begin{eqnarray*} R^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit den so definierten Operationen ein Ring wird, ist leicht nachzuprüfen. Was sind die Null und die Eins in diesem Ring? Die "Identität" ist jedenfalls nicht die Eins. Was soll denn auch die "Identität" beim Abbildungstyp $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \to R \end{eqnarray*}$ sein? Das ist hier kein sinnvoller Begriff.

Der Unterring $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ besteht nun aus allen Folgen, die schließlich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ werden. Die Elemente von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sind also von der Art

$\begin{eqnarray*} s = \left( s_0,s_1,s_2,\ldots,s_{n_0},0,0,0,\ldots \right) \end{eqnarray*}$

Das Anfangsstück von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ darf beliebig lang werden, muß aber endlich sein. Warum enthält $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nun kein Einselement?

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