Schnittraum bestimmen über Körper F3

27.08.2011, 18:11

JuliusSpringer

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Schnittraum bestimmen über Körper F3

Diese Aufgabe sei gegeben:
[attach]20963[/attach]

So, ich will diese Aufgabe mal exemplarisch durchrechnen, und dabei eure Hilfe gegeben falls in Anspruch nehme.

Schritt 1.
Ich schreibe die Vektoren als Spalten in einer Matrix. Hier schon gleich die erste Frage. Warum kann ich diese nicht in Zeilen schreiben?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, nun wende ich das Gaussverfahren an. Dieses möchte ich Überspringen: Am Ende hab ich:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei bin ich so vorgegangen. Ich habe jeweils in Z gerechnet, am Ende habe ich das Ergebnis modulo 3 ausgerechnet.

Laut diesem Ergebnis ist die letzte Spalte eine Linearkombination aus den vorherigen Spaltenvektoren. also $\begin{eqnarray*} dim(U_1+U_2) = 5 \end{eqnarray*}$
Die ersten drei Spalten sind lin. unab. -> $\begin{eqnarray*} dim U_1 = 3 \end{eqnarray*}$ , Die letzen drei Spalten sind ebenfalls lin. unab. -> $\begin{eqnarray*} dim U_2 = 3 \end{eqnarray*}$ .

Mittels der Dimensionsformel erhalte ich: $\begin{eqnarray*} dim ( U_1 \cap U_2) = 1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das alles soweit?

Grüße,
Julius Springer

27.08.2011, 18:27

Elvis

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1. Falsche Methode: Rechnen in ganzen Zahlen ist unnötig, in F3 geht's einfacher.
2. Schlampige Arbeit: Du fängst gleich mit einem Schreibfehler an.
3. Falsches Ergebnis: Dimension von Summe und Durchschnitt stimmt nicht (vermutlich wegen 2. (oder weil du dich zusätzlich verrechnet hast)).

Tipp: Tief durchatmen, entspannen und noch mal von vorn anfangen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2011, 18:32

Julius Springer

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Der Schreibfehler sollte sich nicht im Endergebnis wiederspiegeln, da ich dieses nicht am Rechner hergeleitet habe, sondern auf dem Blatt.

Woher siehst du so schnell, dass die Dimension nicht stimmen kann?

Na dann werde ich mal wieder von Vorne anfangen.

Grüße,
JuliusSpringer

27.08.2011, 18:32

jester.

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Toll für diese Fragestellung ist auch der Zassenhaus-Algorithmus Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2011, 18:48

Elvis

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Zitat:

Original von Julius Springer

Woher siehst du so schnell, dass die Dimension nicht stimmen kann?

Nicht schnell gesehen, sondern schnell in F3 gerechnet.

28.08.2011, 02:03

JuliusSpringer

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So, hier ist mein bisheriger Lösungsversuch. Stimmt das soweit. Ich bezweifle es irgendwie.[attach]20968[/attach]

Grüße,
JuliusSpringer

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28.08.2011, 12:04

Elvis

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Die Dimension des Summenraumes ist demnach 4, nämlich gleich dem Zeilenrang der Matrix - das habe ich auch in drei Schritten herausbekommen. In F3 kann man damit beginnen die 1. und 2. Zeile zu addieren, wegen 2+1=0 .

Das sieht nicht schlecht aus, mach weiter. Freude

Freude

01.09.2011, 23:09

JuliusSpringer

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So jetzt müsst ihr mir ein bisschen helfen.

Um zu bestimmen welche Vektoren den Summenraum aufspannen, benötige ich linear unabhängige Spaltenvektoren.

Meine Matrix hat nach meinen Umformungen, folgende gestallt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Festzuhalten ist, dass die ersten 3 Spaltenvektoren linear unabhängig sind. Somit dim(U_1) = 3

Bei den hinteren bin ich mir auch sehr sicher, dass diese linear unabhängig sind. Ich vermute aber, dass ich irgendwo einen denkfehler habe.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Grüße,
JuliusSpringer

02.09.2011, 17:18

JuliusSpringer

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Ich seh gerade, dass der Zeilenrang der Matrix gerade 4 ist. Also müsste ja demnach auch der Zeilenrang 4 sein. Kann ich daraus folgern, dass dim(U_1+U_2) = 4 ist?

Grüße,
JuliusSpringer

03.09.2011, 19:16

Elvis

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Zeilenrang=Spaltenrang , also hat der Summenraum die Dimension 4. Freude

Freude

03.09.2011, 22:34

JuliusSpringer

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Also

$\begin{eqnarray*} dim(U_1+U_2) = dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1 \cap U_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 = 3+3-dim(U_1 \cap U_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dim(U_1 \cap U_2)=2 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich mir, doch eine Lösung von oben genannter Matrix raussuchen? Das müsste dann doch der Raum sein:

$\begin{eqnarray*} [\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}] \end{eqnarray*}$

Wie habe ich das jetzt zu interpretieren. Heißt das, ich für beide Vektoren die Linearkombination berechnen muss und der Vektor der dan daraus rauskommt, spannt die beiden Unterräume auf.

Also
1 * Vektor aus erster Spalte + 2* Vektor aus vierten Spalte ...

Grüße,
JuliusSpringer

04.09.2011, 10:55

Elvis

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moment mal ... wir spielen im $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3^5 \end{eqnarray*}$ , das ist ein Vektorraum der Dimension 5 (in Worten : fünf) über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ . Wieso haben deine Vektoren jetzt plötzlich 6 Komponenten ? Und "raussuchen" geht gar nicht, das ist (hier) keine sinnvolle mathematische Operation.

Vorschlag : Vektoren in $\begin{eqnarray*} U_1=<u_1,u_2,u_3> \end{eqnarray*}$ erfüllen die Gleichung $\begin{eqnarray*} u=au_1+bu_2+cu_3 \end{eqnarray*}$ , Vektoren in $\begin{eqnarray*} U_2=<v_1,v_2,v_3> \end{eqnarray*}$ erfüllen die Gleichung $\begin{eqnarray*} v=dv_1+ev_2+fv_3 \end{eqnarray*}$ , also ergibt sich für Vektoren im Durchschnitt $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ das homogene LGS in den Variablen a bis f : $\begin{eqnarray*} au_1+bu_2+cu_3=dv_1+ev_2+fv_3 \end{eqnarray*}$ . Noch ein Tipp: rechte Seite auf die linke Seite bringen, dann kannst du das LGS aufschreiben und lösen.

05.09.2011, 15:22

JuliusSpringer

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Moment, ohne jetzt zu behaupten das oben das von mir richtig ist. Wenn ich insgesamt 6 Parameter hab (a,b,c,d,e,f). Dann muss der Lösungsraum 6 Komponenten haben. In diesem Fall ist der Lösungsraum des LGS zweidimensional, also stimmt doch schonmal die generelle Form meiner Lösung, oder?

Um nun das korrekte Ergebnisse zu bekommen, muss ich doch lediglich $\begin{eqnarray*} u-v=0 \end{eqnarray*}$ auswerten und das entspricht dem LGS. Nur muss man da in den letzten drei Spalten, das Vorzeichen ändern, oder?

Grüße,
JuliusSpringer

05.09.2011, 18:47

Elvis

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unglücklich

unglücklich

unglücklich

Das ist leider falsch. unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

Ganz falsch. unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

Total falsch. unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

smile

smile

smile

Mein Tipp ist richtig und bringt eine Lösung. Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

(Es gibt viele Lösungen, da ein Vektorraum nicht nur eine Basis hat. Ein weiterführendes Problem wäre die Frage nach der Anzahl der Basen in einem m-dimensionalen Vektorraum über einem endlichen Körper ... aber das ist ja hier nicht gefragt.)

05.09.2011, 20:22

JuliusSpringer

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Ich habe in meinem letzten Post mehrere Fragen gestellt. Ich weiß leider nicht auf was sich dein "ist falsch" bezieht.

Was genau ist falsch. Soll ich für das bestimmen des Schnittraums ein komplett neues LGS lösen oder kann ich das vorhandene dafür nutzen?

Mir geht es darum in der Klausur nicht doppelte Arbeit machen zu müssen.

Grüße,
JuliusSpringer

06.09.2011, 12:40

JuliusSpringer

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Ich versuche mich gerade an dieser Musterlösung ranzuhangeln. Hie wird nur ein LGS benutzt ohne dass man auf der rechten Seite das zeug rüberholen muss:
[attach]21047[/attach]

Hier hat der Lösungsraum auch 6 Komponenten bzw. Parameter. Was ist dann bei meinem ansatz "ganz falsch" bzw. "total falsch"?

Grüße,
JuliusSpringer

06.09.2011, 19:04

Elvis

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In diesem Beispiel wird der Rang der Matrix bestimmt, die alle 2*3=6 Basisvektoren aus den beiden Unterräumen enthält. Das haben wir schon lange hinter uns. Auf diese Weise wird die Dimension des Summenraums bestimmt. Wir wissen, dim(Summe)=4, dim(Durchschnitt)=2.

Ganz und total falsch sind deine Vektoren mit 6 Komponenten in einem 5-dimensionalen Vektorraum, das geht gar nicht.

$\begin{eqnarray*} u-v=0 \end{eqnarray*}$ ist eine gute Idee, das ist ein LGS, um eine Basis des Durchschnitts zu berechnen. Falsch ist, dass man in $\begin{eqnarray*} F_3 \end{eqnarray*}$ ein Vorzeichen ändern muss, da muss man vielmehr das jeweils additive Inverse eintragen.
Im reellen z.B. ist -7.434 das additive Inverse von 7.434, in endlichen Körpern benutzt man normalerweise keine Vorzeichen. In $\begin{eqnarray*} F_3 \end{eqnarray*}$ gilt 1+2=0, also ist 1 das Inverse von 2 und 2 das Inverse von 1.

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