Integral berechnen

27.08.2011, 18:20

chillerStudent

Integral berechnen

Hallo,

ich muss das folgende integral mit der Substitution x=sin(t) berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \sqrt{1-x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} t=arcsin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-sin²t} = \sqrt{cos²t} = cos(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \sqrt{cos(t)} \, dx \end{eqnarray*}$

wie gehts weiter ?

27.08.2011, 19:44

Cel

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Hallo, wenn du die Grenzen dabei stehen haben möchtest, musst du die Grenzen transformieren. Oder lass die Grenzen zunächst weg, bestimme eine Stammfunktion und rechne danach das bestimmte aus.

So oder so, wieso steht bei dir am Schluss dann noch die Wurzel? In der Umformung davor fällt sie doch raus.

Edit: Und wo ist die innere Ableitung geblieben? Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} \end{eqnarray*}$ ?

28.08.2011, 13:42

chillerStudent

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oh stimmt...

es heißt
$\begin{eqnarray*} \int cos(t) \, dx \end{eqnarray*}$

mhh was das dx/dt angeht: dx/dt = cost >>> dx=dt*cost

stimmt das?

28.08.2011, 14:17

Cel

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Ja, genau. Also einsetzen und weiter geht's. smile

28.08.2011, 14:31

chillerStudent

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sorry aber ich verstehe nicht ganz

wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2} = cost \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch dx/dt = cost ???
ist das immer so?

einsetzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} cost*cost*dt=cos^2t*dt \end{eqnarray*}$

muss ich hier für t jetzt arcsin(x) einsetzen?

28.08.2011, 15:04

Mulder

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Zitat:

Original von chillerStudent
muss ich hier für t jetzt arcsin(x) einsetzen?

Was hätte das denn nun für einen Sinn? Du wirst das cos² doch nun wohl integrieren können. Entweder mit partieller Integration oder halt unter Verwendung von

$\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = \frac{1}{2}\ \Big(1 + \cos (2x) \Big) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von chillerStudent
ist das immer so?

28.08.2011, 15:49

chillerStudent

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ok

$\begin{eqnarray*} \int \cos^2(t) = \int \frac{1}{2}dt\ +\int \frac{1}{2}\cos (2t) dt\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{t}{2}+\frac{1}{4}sin(2t) \end{eqnarray*}$

ich glaub jetzt darf ich für t arcsin einsetzen oder?

28.08.2011, 20:26

Cel

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Genau, das darfst und sollst du.

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