Exakte Differentialgleichung lösen

27.08.2011, 19:08

schtscherbazkaja

Exakte Differentialgleichung lösen

Hallo an alle!

Ich habe hier folgende Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiter komme:

Gegeben ist folgende Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} 2y^{3}xe^{x^{2} } + 3y^{2}e^{x^{2} } y' = 0 \end{eqnarray*}$

Aufgabe ist zum einen zu bestimmen, ob die DGL exakt ist und zum anderen die Lösung zu bestimmen. Ergebnis habe ich hier aber keine Ahnung wie ich dahin komme.

Exakt ist die Gleichung, da gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{dg}{dy} = \frac{dh}{dx} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g\left(x;y\right)=2y^{3}xe^{x^{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h\left(x;y\right)=3y^{2}e^{x^{2} } \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich die Gleichung lösen und habe dafür die wunderschöne Formel: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! g(x;y)\, dx + \int_{}^{} \! \left[h(x;y)-\int_{}^{} \! \frac{dg}{dy} \, dx \right] \, dy = C \end{eqnarray*}$

Aaber, das bekomme ich überhaupt nicht hin. Erstmal wollte ich das dritte Integral, also das in der Klammer, lösen. Aber das beinhaltet ja $\begin{eqnarray*} e^{x^{2} } \end{eqnarray*}$ und das kriege ich nicht gelöst. Habe mich schon informiert und das soll wohl nicht so einfach sein?!
Außerdem habe ich eh das Gefühl, dass ich da irgendeine Vereinfachung übersehe oder das Prinzip nicht richtig begriffen oder sonst irgendwas falsch gemacht habe?

Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen!

Achja: Ich habe schon versucht, aus der Ursprungsgleichung die e-Terme herauszukürzen, was ja legitim ist, aber dann ist die Gleichung nicht mehr exakt?!

Vielen Dank schonmal im Voraus! smile

27.08.2011, 19:22

Huggy

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RE: Exakte Differentialgleichung lösen

Zitat:

Original von schtscherbazkaja
Erstmal wollte ich das dritte Integral, also das in der Klammer, lösen. Aber das beinhaltet ja $\begin{eqnarray*} e^{x^{2} } \end{eqnarray*}$ und das kriege ich nicht gelöst. Habe mich schon informiert und das soll wohl nicht so einfach sein?!

Da wäre ich neugierig, wo du dich da informiert hast. Schließlich steht vor dem $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ noch ein Faktor x. Leite doch mal $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ ab!

27.08.2011, 19:39

schtscherbazkaja

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Danke für deine Antwort!
Das ist doch $\begin{eqnarray*} 2xe^{x^{2} } \end{eqnarray*}$ .

Aber leider komme ich da trotzdem nicht weiter, das hatte ich vorher auch schon versucht... konkret habe ich:

$\begin{eqnarray*} 2y^{3} \int_{}^{} \! xe^{x^{2} } \, dx + \int_{}^{}\left[ \! 3y^{2}e^{x^{2} } -6y^{2}\int_{}^{} \! e^{x^{2} } \, dx\right] \, dy \end{eqnarray*}$

und weiter weiß ich nicht... :/

27.08.2011, 19:48

Huggy

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Zitat:

Original von schtscherbazkaja
Aber leider komme ich da trotzdem nicht weiter, das hatte ich vorher auch schon versucht... konkret habe ich:

$\begin{eqnarray*} 2y^{3} \int_{}^{} \! xe^{x^{2} } \, dx + \int_{}^{}\left[ \! 3y^{2}e^{x^{2} } -6y^{2}\int_{}^{} \! e^{x^{2} } \, dx\right] \, dy \end{eqnarray*}$

Nein, du hast:

$\begin{eqnarray*} 2y^{3} \int_{}^{} \! xe^{x^{2} } \, dx + \int_{}^{}\left[ \! 3y^{2}e^{x^{2} } -6y^{2}\int_{}^{} \! xe^{x^{2} } \, dx\right] \, dy \end{eqnarray*}$

27.08.2011, 19:59

schtscherbazkaja

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Ahh, ja, danke, habs jetzt gesehen!

Dann dürfte es jetzt ja mit dem Substitutionsverfahren gehen? Werd's gleich mal ausprobieren!

27.08.2011, 20:06

schtscherbazkaja

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Jop, jetzt komme ich aufs gewünschte Ergebnis...
Wusst ich's doch, dass es da irgendwo eine Vereinfachung gab, habe einfach die Ableitungen von oben nicht mehr überprüft!
Danke! smile

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