Äquivalenzumformung, Folgerung : Unterschied?
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27.08.2011, 21:39 Acacia Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzumformung, Folgerung : Unterschied?
Meine Frage:
Guten Abend zusammen smile
Ich habe mal eine Frage zum Formalen, unzwar:
Wenn ich auf beiden Seiten einer Gleichung die Wurzel ziehe, wieso ist das nur eine Folgerung und keine Äquivalenzumformung?

1.)Beispiel:
x² = 1
=> x = +-1 bzw. x=1 v x=-1
aber umgekehrt kann ich doch aus x=1 sagen, dass x² = 1 ist...


Liegt es daran, dass die Lösungsmenge von x=1 und x²=1 ungleich ist?



2.)Beispiel:

(1)² = (-1)²
=> 1 = +- (-1) bzw. 1=-1 v 1=1

kann ich hier einfach sagen, dass die erste antwort nicht sein kann? weil aus was wahrem nur was wahres folgen kann?


Gruß Acacia smile

Meine Ideen:
27.08.2011, 21:42 Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzumformung, Folgerung : Unterschied?
Zitat:
Original von Acacia
Liegt es daran, dass die Lösungsmenge von x=1 und x²=1 ungleich ist?


So ist es!

Die Lösungsmenge darf bei Äquivalenzumformungen nicht verändert werden.

Hinzufügung:
Wenn du äquivalent umformen möchtest, verwende den Betrag.

Denn es gilt:
27.08.2011, 22:17 Acacia Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank Pascal Augenzwinkern

was mich noch wurmt ist, dass aus

1² = (-1)² => 1=-1 v 1=1

folgt.
Wie kann man sich das erklären? Die Aussage 1² = (-1)² ist wahr in den reellen Zahlen, aber 1=-1 ist falsch. das darf eigentlich nicht sein, oder? ^^

Gruß
27.08.2011, 22:27 Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzumformung, Folgerung : Unterschied?
Zitat:
Original von Acacia
Wenn ich auf beiden Seiten einer Gleichung die Wurzel ziehe, wieso ist das nur eine Folgerung und keine Äquivalenzumformung?

1.)Beispiel:
x² = 1
=> x = +-1 bzw. x=1 v x=-1


Obiges ist keine Folgerung, es ist eine Äquivalenzumformung.

Wenn du aber aus x^2=4 => x=2 folgern würdest, dann wäre dies nicht korrekt.

Korrekt wäre

x^2=4 <= x=2

(x^2=4 ist notwendige Bedingung für x=2)
27.08.2011, 22:39 Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Acacia
vielen Dank Pascal Augenzwinkern

was mich noch wurmt ist, dass aus

1² = (-1)² => 1=-1 v 1=1

folgt.
Wie kann man sich das erklären? Die Aussage 1² = (-1)² ist wahr in den reellen Zahlen, aber 1=-1 ist falsch. das darf eigentlich nicht sein, oder? ^^

Gruß


du musst mi den Schreibfiguren acht geben. Das Rote ist falsch geschrieben, du meintest:

1=-1 falsch
(1)^2=(-1)^2 wahr.

das Quadrieren ist auch keine Äquivalenzumformung.

ebenfalls gilt:

(1)^2 <=(-1)^2

das Linke ist nur notwendige Bedingung für Rechts.


Allgemein gilt: aus etwas Falschem, kann man Wahres oder auch Falsches folgern.
Egal wie nun, die Folgerung ist falsch.
28.08.2011, 21:11 Acacia Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzumformung, Folgerung : Unterschied?
Danke Dopap, so langsam krieg ich den dreh raus smile

dass aus etwas wahrem nur etwas wahres folgen kann, ist mir klar, aber hast du vllt mal ein beispiel, dass aus was falschem etwas wahres folgt?

und nochwas: du sagst also, dass z.b.

0 = x² +3x +2 <=> x1,2 = - 3/2 +- Wurzel( (3/2)² -2) ??

mein mathelehrer hat immer gesagt, dass das eine Folgerung ist. Aber die Lösungsmenge von beiden Gleichungen ist ja die selbe. hatte er also unrecht?

Gruß
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28.08.2011, 21:41 Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn gilt, dann auch insbesondere .

Damit hat dein Lehrer nicht Unrecht.

Wenn die Lösungsmenge und Definitionsmenge gleichbleibt sind die Aussagen äquivalent.
Und damit ist das eine auch eine Folgerung vom anderen.
28.08.2011, 21:58 Acacia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Wenn gilt, dann auch insbesondere .

Damit hat dein Lehrer nicht Unrecht.

Wenn die Lösungsmenge und Definitionsmenge gleichbleibt sind die Aussagen äquivalent.
Und damit ist das eine auch eine Folgerung vom anderen.


Ja ok, eine Äquivalenz zwischen A und B heißt aus A folgt B und aus B folgt A
Aber wenn mein Mathelehrer darauf besteht, dass da ein Folgerungspfeil und kein Äquivalenzzeichen hin darf, schließt er aus dass aus, dass aus B A folgt und somt hat er doch Unrecht, oder? Big Laugh
28.08.2011, 22:45 Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun, das liegt vielleicht daran, dass der Rechtspfeil immer "etwas mehr" an Folgerung enthält, als der Linkspfeil. Er ist irgendwie dynamischer, enthält mehr Gehirnschmalz.
In vielen Beweisen mit einer Kette von Folgerungen wird ( wurde ) gar nicht geprüft, ob auch zusätzlich der Linkspfeil gilt. Dazu gibt es einen Thread.

Wenn man ein Polynom aufwändig und kunstgerecht in Produkte zerlegt, dann ist diese Folgerung eine Leistung. Natürlich gilt hier Äquivalenz, aber die Links-Folgerung : -Produkte in Polynom- zu verwandeln , stellt keinerlei Anforderungen.

so ist vielleicht zu erklären, dass



nicht ernst genug genommen wird. Man kann ja einwenden, dass Rechts eine Gleichung ( Aussageform ) steht, Links aber keine Gleichung mehr.

( eine echte ) Folgerung: beim letzten Schritt zur Lösungsmenge nur verwenden.
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