zwischenkörper normal

27.08.2011, 23:38	mapsto	Auf diesen Beitrag antworten »
zwischenkörper normal guten abend, ich habe versucht, folgende aufgabe zu lösen: seien $\begin{eqnarray} K\subset M\subset L \end{eqnarray}$ Körper, und $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ normal, dann ist auch $\begin{eqnarray} L/M \end{eqnarray}$ normal. und wenn $\begin{eqnarray} M/K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L/M \end{eqnarray}$ normal sind, ist dann auch $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ normal? ich hab versucht, das zu argumentieren also alle irreduziblen polynome aus M sind auch auf jeden fall irreduzibel in K, weil K ja weniger elemente als M hat und somit gibt es weniger "möglichkeiten", ein polynom aufzuspalten. also sind die irreduziblen polynome aus M eine teilmenge von denen aus K, und wenn die bedingung für alle aus K gilt, dann ja auch für diejenigen, die auch in M liegen, damit ist L/M dann auch eine normale körpererweiterung. zum nächsten dachte ich mir, dass es irreduzible polynome aus K geben kann, die keine nullstelle in M haben, aber in L schon. aber dann ist nicht gesagt, dass dieses polynom in L in linearfaktoren zerfällt, also muss die erweiterung nicht unbedingt normal sein. kann man so argumentieren oder ist das falsch was ich mir da ausgedacht habe?
28.08.2011, 10:19	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die erste Aussage kann man so argumentieren. Alternativ schafft man das auch über Teilbarkeit von Minimalpolynomen oder über die Aussage $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ normal genau dann wenn $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen aus $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ ist. Zur zweiten Aussage gibt es einfach konstruierbare Gegenbeispiele. Beachte, dass jede Erweiterung vom Grad 2 normal ist - damit kann man sich ein Gegenbeispiel mit $\begin{eqnarray} [L:M]=[M:K]=2 \end{eqnarray}$ konstuieren.
28.08.2011, 14:07	mapsto	Auf diesen Beitrag antworten »
ist die argumentation vom zweiten denn falsch oder geht das auch so?
28.08.2011, 14:12	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Aussagen falsch sind, gibt man ein Gegenbeispiel an. "also muss die erweiterung nicht unbedingt normal sein." ist doch nichts halbes und nichts ganzes.

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