Gewöhnliche Differentialgleichung II

27.06.2004, 01:56	matmalign	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewöhnliche Differentialgleichung II Haben wieder mal ein Problem mit einer Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung: $\begin{align} y' = -\frac{1+x}{1-y} \cdot \frac{y}{x} \end{align}$ mutlipliziere ich nun mit $\begin{align} \(1-y\) \end{align}$ und dividiere $\begin{align} y \end{align}$ dann kann ich zwar wunderbar y von x separieren zu $\begin{align} \Bigint_{}^{}~\frac{1-y}{y}~\cdot dy = -\Bigint_{}^{}~\frac{1+x}{x} ~\cdot dx \end{align}$ (Umformung) $\begin{align} \Bigint_{}^{}~\(\frac{1}{y}-1\)~\cdot dy = -\Bigint_{}^{}~\(\frac{1}{x}+1\) ~\cdot dx \end{align}$ Jedoch habe ich spätestens nach dem Integrieren folgendes Problem $\begin{align} ln\\|y\\| - y = - ln\\|x\\| - x + ln\\|C\\| \end{align}$ Jetzt kann ich schlecht nach y auflösen! Der Lösungsweg scheint also der Falsche zu sein... nur finden wir keine geeignete Substitution oder Umformung nach der wir schlussendlich nach y auflösen können! Ich habe mich auch schon gefragt, ob dies überhaupt eine homogene DGL ist? Falls sie inhomogen ist - müsste ich ohnehin einen komplizierteren Weg einschlagen. Was haben wir da flasch gemacht?
27.06.2004, 13:48	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich sehe da erstens keinen Fehler und zweitens bin ich in meiner Dgl-Vorlesung über mehrere solche impliziten Lösungen gestolpert. Du könntest sie der Form halber noch exponenzieren. (Oder du nimmst die gute LambertW-Funktion, das ist die Umkehrfunktion von x --> x*exp(x).)

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