Binomialverteilung? |
| 28.08.2011, 13:27 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Binomialverteilung? Ich habe mal eine ganz blöde Frage, die mich aber dennoch beschäftigt. Angenommen man untersucht in der Umgebung eines Kernkraftwerks 100 Leute, ob sie eine bestimmte Krankheit haben, die im Bundesdurchschnitt bei z.B. 1% vorkommt. Ich habe jetzt irgendwo gelesen, man kann die 100 Leute als Resultat eines Ziehens mit Zurücklegen aus einer geeigneten Urne auffassen. Irgendwie verstehe ich es nicht! Man zieht also 100 Mal und legt jeweils die Kugel wieder in die Urne zurück; zieht man dann nicht unter Umständen 100 Mal die gleiche Person (die erkrankt ist oder nicht)? Oder macht das absolut keinen Unterschied?! Meine Ideen: Es ist mir klar, daß es sich um eine Binomialverteilung handelt; aber irgendwie will das nicht in meinen Kopf hinein, wieso es Sinn macht, mit Zurücklegen zu betrachten... Edit: Achso, man ist ja daran interessiert zu wissen, wie wahrscheinlich es z.B. ist, daß 5 unter den 100 Leuten die Krankheit aufweisen, dann ist es ja egal, ob man quasi 5 Mal den gleichen Menschen zieht, es interessiert ja nur das Ergebnis... |
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| 28.08.2011, 14:04 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Binomialverteilung? Du kannst es deshalb als Ziehen mit Zurücklegen betrachten, weil du davon ausgehen kannst, dass die Personen alle unabhängig voneinander erkrankt sind. Trotzdem musst du jedes Mal eine andere Person ziehen, da sonst das Ergebnis verfälscht wäre. Ausserdem verstehe ich die Aufgabe nicht so ganz: Setzt du nun als gegeben voraus, dass 1% der Leute diese Krankheit haben, und möchtest wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass von 100 Leuten X Leute diese Krankheit haben, oder sind die "1% der Bevölkerung ist erkrankt" deine Hypothese, die du durch diesen Test verifizieren oder falsifizieren willst? |
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| 28.08.2011, 14:13 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Binomialverteilung? Dies ist nicht die eigentliche Aufgabe, sondern nur ein Teil davon. Mir ging es nur darum, daß man die 100 Leute als Resultat eines Ziehens mit Zurücklegen auffassen kann. Du sagst, man müsse dennoch immer eine andere Person ziehen. Aber das ist doch nicht gewährleistet, wenn man Ziehen mit Zurücklegen betrachtet. |
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| 28.08.2011, 14:24 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Binomialverteilung?
Das ist nur eine mögliche Anwendung der Binomialverteilung. Die Binomialverteilung wendest du allgemein immer dann an, wenn du das selbe Experiment mehrmals mit gleich bleibender Erfolgswahrscheinlichkeit betrachtest. Es ist nun davon auszugehen, dass bei jeder Person die Krankheit mit der selben Wahrscheinlichkeit von 1% auftritt, unabhängig von den bereits gezogenen. |
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| 28.08.2011, 14:31 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Binomialverteilung? Ich vermute, dass die Zahl der Bewohner in dem betrachteten Gebiet als genügend groß gegenüber der Stichprobe von 100 Personen unterstellt wird, sodass man die eigentlich anzuwendende hypergeometrische Verteilung in guter Näherung durch die Binomialverteilung ersetzen kann. |
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| 28.08.2011, 14:33 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Binomialverteilung? In Ordnung, ich will mich nicht darauf versteifen. Dennoch finde ich das seltsam und irgendwie verwirrend. Klar ists mir nicht. Edit: Zu Huggys Vermutung: Das kann natürlich sehr gut sein, deswegen heißt es vermutlich auch: "geeignete Urne", soll heißen, daß da sehr, sehr viele "Menschen" drin sind... Bei Wikipedia habe ich gelesen, dass man die Binomialverteilung in solchen Fällen dann vorzieht, weil sie einfacher zu handhaben ist. |
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| 28.08.2011, 14:44 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Binomialverteilung? Ah, nun verstehe ich auch was dieser Teil der Aufgabe eigentlich soll: "Betrachten Sie im Folgenden die 100 Personen in der Umgebung des Kraftwerks als Resultat einer Ziehung mit Zurücklegen aus einer geeigneten Urne." Dies versteh ich nun so: Eigentlich müsste man die hypergeometrishe Verteilung bemühen (die ja ohne Zurücklegen ist), man soll aber alles als binomiale Verteilung auffassen (also mit Zurücklegen). Hier erklärt sich diese "Aufforderung" des Aufgabenstellers also dadurch, daß man die hypergeometrische Verteilung durch die binomiale annähern kann. Dadurch wohl meine Verwirrung, dass man Zurücklegen betrachtet, was ja in diesem Fall an sich unangemessen wäre. So? |
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| 28.08.2011, 14:46 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Binomialverteilung? Sehe ich auch so. |
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| 28.08.2011, 14:50 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Binomialverteilung? Ich würde hier gar nicht erst über die hypergeometrische Verteilung argumentieren: Diese "1% der Bevölkerung" ist nur ein grober Richtwert, es heißt nicht, dass in jedem Fall auch exakt 1% der Bevölkerung infiziert ist, zumal die Zahl ja auch laufend schwankt. Wenn die 1% auch nur geringfügig schwanken, ändert sich dadurch der Anteil der kranken Menschen in der Urne extrem. Ich würde die eher als Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung betrachten, und es nicht auf den Anteil kranker Menschen an der Gesamtbevölkerung. Ich würde hier auch gar nicht erst über Urnen argumentieren, sondern das direkt als mehrfache Zufallsexperimente sehen, und direkt die Binomialverteilung anwenden. |
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| 28.08.2011, 14:57 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Binomialverteilung?
Würde ich auch. Deswegen wunderte ich mich auch über diese Aufgabe, die das in Zusammenhang mit Urnenmodellen bringt. Naja, Huggys Hinweis hat es für mich jetzt - wie gesagt - aufgeklärt. In einer Klausur hätte mich sowas jetzt schon wieder total verwirrt. Naja, vielleicht lerne ich aus solchen Aufgaben besser, als wenn es jetzt einfach geheißen hätte: "Wenden Sie die Binomialverteilung an." Danke an Euch! 
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