Ableitung der Umkehrfunktion

20.12.2006, 16:53

hmer

Ableitung der Umkehrfunktion

Hallo.

Ich soll von der quadratfunktion, der sin und der cos funktion die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen.

Ich hab dafür zunächst die Regel für die Umkehrfunktion "hergeleitet". Das geht doch wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x)) = x \end{eqnarray*}$ , d.h. die Ableitung ist mit der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(f^{-1}(x)) * (f^{-1}(x))' = 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))' = 1/f'(f^{-1}(x)) \end{eqnarray*}$ .

Sei jetzt also: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x \end{eqnarray*}$ dann ist:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))' = 1/f'(f^{-1}(x)) = 1/f'(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ .

Für Sinus ist das:
Sei jetzt also: $\begin{eqnarray*} f(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) = arcsin(x) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f'(x) = cos(x) \end{eqnarray*}$ dann ist:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))' = 1/f'(f^{-1}(x)) = 1/f'(arcsin(x)) = 1/cos(arcsin(x)) \end{eqnarray*}$ . Setze jetzt: $\begin{eqnarray*} y = arcsin(x) \end{eqnarray*}$ , dann ist: $\begin{eqnarray*} x = sin(y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} cos(y) = \sqrt{1-sin^2(y)} \end{eqnarray*}$ folgt dann:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1}(x))' = 1/cos(arcsin(x)) = 1/cos(y) = 1/\sqrt{1-sin^2(y)} = 1/\sqrt{1-x^2)} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das so? Nach Wikipedia stimmt die Formel so, aber ich bin mir nicht sicher ob der Weg so richtig ist...

Gruß und dank, hmer

20.12.2006, 17:41

Mathespezialschüler

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Bei der Herleitung setzt du aber schon voraus, dass die Umkehrfunktion differenzierbar ist (keine Ahnung, ob du das darfst, musst du selbst wissen).
Dein Rechenweg ist richtig, allerdings müsstest du evtl. noch

$\begin{eqnarray*} \cos y=\sqrt{1-\sin^2y} \end{eqnarray*}$

begründen.

Gruß MSS

20.12.2006, 18:02

hmer

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hallo mss,

ich glaub die stetigkeit darf ich annehmen...(hoff ich mal). Wir sollen die Umkehrfunktion ohnehin nur auf einem intervall betrachten, wo die funktionen beide injektiv und surjektiv und stetig sind.

also die wurzelfunktion sollen wir nur auf dem intervall $\begin{eqnarray*} (0,\inf) \end{eqnarray*}$ betrachten, genauso wie $\begin{eqnarray*} (0,\pi) \end{eqnarray*}$ für cos und $\begin{eqnarray*} (-\pi/2, \pi/2) \end{eqnarray*}$ für sin.

gruß hmer

20.12.2006, 18:49

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von hmer
ich glaub die stetigkeit darf ich annehmen...(hoff ich mal).

Nach der Stetigkeit habe ich aber nicht gefragt, sondern nach der Differenzierbarkeit!
Und wo ist die Begründung für die Gleichung oben?

Gruß MSS

21.12.2006, 05:38

hmer

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begründung des einen ist satz von pythagoras, begründung der differenzierbarkeit der umkehrfunktion:

da f auf dem interval stets stetig und streng monoton ist, sowie differenzierbar, ist auch die umkehrfunktion differenzierbar.

gruß hmer

21.12.2006, 20:37

Mathespezialschüler

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Die Differenzierbarkeit musst du noch viel mehr im Detail begründen. Das reicht so nicht. Du musst es mit der Definition oder einer dazu äquivalenten Beschreibung beweisen!
Zum Pythagoras: Ja, dass der da hilft, ist klar. Damit meinst du ja

$\begin{eqnarray*} \cos^2y=1-\sin^2y \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du daraus aber nur

$\begin{eqnarray*} |\cos y|=\sqrt{1-\sin^2y} \end{eqnarray*}$

folgern. Jetzt musst du noch begründen, dass in diesem Teilintervall von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch wirklich $\begin{eqnarray*} |\cos y|=\cos y \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß MSS

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