Diffgleich Anfangswertproblem mit Cosinus und Erweiterung auf "halb R"

28.08.2011, 16:26

pablosen

Diffgleich Anfangswertproblem mit Cosinus und Erweiterung auf "halb R"

Hallo liebes Forum

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} x'=\frac{log(t)*cos(x)}{t*sin(2x)} \end{eqnarray*}$
1. Finden Sie alle Lös. der Gleichung auf $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x(1)=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .
2. Gibt es eine Lös. auf der Halbgeraden $\begin{eqnarray*} [1,+\infty] \end{eqnarray*}$ mit dem gleichen Anfangswert?

Zu 1)
Ich komme mit Seperation der Variablen und am Schluss mit Einsetzen des Anfangswertes, was mir die Int.konstante C=0 ergibt, auf dieses Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} x(t)=cos^{-1}(\frac{2\sqrt{2}-log(t)}{4} ) \end{eqnarray*}$
Sind das schon alle Lösungen? Wenn nein, wie komme ich auf die anderen?

Zu 2)
?? Bisher noch keine Ideen? Cos ist ja periodisch, also wird das mit meiner Lösung nicht gehen, aber wie komme ich auf die andere Lösung?

Ev. jmd. Tipps?

Grüsse
Pablo

29.08.2011, 15:49

pablosen

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Hat hier keiner ev. eine Idee?

Grüsse

31.08.2011, 17:56

pablosen

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Möchte hier noch ein letztes Mal pushen.

Ev. ein Vorschlag zur Methode? Ein Kommentar oder so?

*anfleh*

Grüsse

31.08.2011, 19:56

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RE: Diffgleich Anfangswertproblem mit Cosinus und Erweiterung auf "halb R"
Zwischenfrage: woher stammt das Beispiel? Analysis 2,3,4?

01.09.2011, 12:33

pablosen

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Analysis1 für Physiker.

Warum meinst du?

01.09.2011, 13:11

René Gruber

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Zitat:

Original von pablosen
Ich komme mit Seperation der Variablen und am Schluss mit Einsetzen des Anfangswertes, was mir die Int.konstante C=0 ergibt, auf dieses Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} x(t)=cos^{-1}(\frac{2\sqrt{2}-log(t)}{4} ) \end{eqnarray*}$

Da scheinst du beim Logarithmus ein Quadrat vergessen zu haben. Ich komme für dieses AWP jedenfalls auf

$\begin{eqnarray*} x(t) = \arccos\left( \frac{2\sqrt{2}-(\ln(t))^2}{4} \right) \end{eqnarray*}$ .

Zu 2.) Es gibt keine solche Lösung. Das müsstest du aus den Zwischenschritten zu 1. eigentlich selbst schließen können.

01.09.2011, 18:41

pablosen

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Danke.

Zitat:

Original von René GruberZu 2.) Es gibt keine solche Lösung. Das müsstest du aus den Zwischenschritten zu 1. eigentlich selbst schließen können.

Hmm, verstehe ich jetzt so nicht (?).

Kann man das nicht einfach aus der Periodizität des Cosinus schliessen?

01.09.2011, 19:36

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Sorry, das tut nun nichts zur Sache, aber gibt es solch große Unterschiede zur Analysis für Mathematiker? Theoriemäßig haben wir dieses Thema schon auch schon angesprochen, allerdings noch nicht eingehender (wird offenbar später (analysis 3,4) eingehender behandelt...)

01.09.2011, 20:52

René Gruber

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Zitat:

Original von pablosen
Hmm, verstehe ich jetzt so nicht (?).

Der vorletzte Schritt bei 1), also nach Einsetzen des Anfangswertes $\begin{eqnarray*} x(1) = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ , ist ja

$\begin{eqnarray*} \cos(x(t)) = \frac{2\sqrt{2}-(\ln(t))^2}{4}\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, es existiert eine Lösung dieses AWP auf ganz $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ , dann muss (*) auch für alle $\begin{eqnarray*} t\geq 1 \end{eqnarray*}$ gelten! Was offensichtlich für große $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ (also $\begin{eqnarray*} t\to\infty \end{eqnarray*}$ ) nicht geht, da die rechte Seite dann gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ strebt, während der Kosinuswert links offenbar nur Werte im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Wenn man will, kann man auch das maximale Intervall ausrechnen, auf das man diese Lösung fortsetzen kann.

02.09.2011, 13:11

pablosen

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Besten Dank für diese sehr gute Erklärung.

Grüsse&einen schönen Tag.
Pablo

02.09.2011, 13:46

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Analysis für Physiker, aber ohne Begriffe wie "Geschwindigkeit" etc?
Wo studierst du denn?

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