Beweis "a primitives Element der galoisschen Erweiterung"

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis "a primitives Element der galoisschen Erweiterung"
Hi,
folgende Aufgabe:
Sei galoissch und mit für alle . Dann ist primitives Element der Erweiterung.

Joa kann mir jemand helfen? Ansätze und Tipps wären echt super.

LG
Hamsterchen
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Sicherlich ist . Nun überlege, was den Körper im Sinne des Hauptsatzes der Galoistheorie charakterisiert (Stichwort Bijektion zwischen Untergruppen und Fixkörpern).
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also man kann das ja dann so schreiben: und weil galoissch ist, ist auch galoissch, oder?
Dann haben wir noch einen Satz, dass gilt. Aber ich komme irgendwie noch nicht weiter...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch wenn die Galoisgruppe ist. Welcher Automorphismus lässt also fest?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja eigentlich nur id, oder? weil alle anderen verändern das a doch.

EDIT: Ist dann und damit ?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Das heißt gehört im Sinne des Hauptsatzes der Galoistheorie zu welcher Untergruppe? Und was folgt daraus?
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe deine Frage irgendwie nicht ^^ kannst du sie nochmal anders formulieren? =)
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn wir nochmal kurz außer Acht lassen und uns nur eine Galoiserweiterung ansehen, dann gibt es eine Zurodnung zwischen den Zwischenkörpern und den Untergruppen der Galoisgruppe. Insbesondere gibt es genau einen Körper, der nur von der Identität festgelassen wird. Er gehört also zu der trivialen Untergruppe . Von welchem Körper spreche ich?

Wenn du das weißt, ist klar, dass sofort in der obigen Situation folgt.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

also die zwischenkörper sind ja die fixkörper der untergruppen. wenn wir die untergruppe id haben, ist ja "alles" der fixkörper, also L, oder?
kann man jetzt einfach sagen, dass weil K(a) zu id gehört, dass K(a)=L ist?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Wegen ist ein Teilkörper. Weil er zu der Untergruppe gehört, ist er sogar gleich . Freude
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

habe da noch einen satz gefunden, mit dem man schneller voran kommt:
galoissch galoisch .
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hinter dem zweiten Gleichheitszeichen von rechts muss aber auch irgendeine Überlegung stecken, wenn man noch nicht weiß, dass gilt. Diese Überlegung wird wohl der oben gemachten auf irgendeine Weise ähneln.
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